Aquarium de Sydney visite : choix des tarifs pour le Brevet

Aquarium de Sydney visite: choix des tarifs pour le Brevet

Si une seule variable change, le résultat peut changer.

Pour une visite de l’Aquarium de Sydney, les données tarifaires permettent donc de construire un exercice classique du Brevet: traduire une situation concrète par des expressions numériques, puis comparer des fonctions.

Les valeurs utilisées ici sont des données d’entraînement annoncées pour 2026. Elles peuvent évoluer selon la période, la demande et les conditions de vente. En mathématiques, elles sont considérées comme constantes pendant tout l’exercice.

Modéliser les tarifs: variables et fonctions

On commence par définir les variables. Une variable mal choisie produit une expression incorrecte.

Pour une visite simple, on peut utiliser:

• \(a\): nombre d’adultes;
• \(e\): nombre d’enfants âgés de 3 à 15 ans;
• \(n\): nombre total de visiteurs payants;
• \(x\): nombre de visites ou de personnes, selon l’énoncé.

Le prix total est ensuite une somme. Chaque catégorie possède son propre coefficient.

Tarif sur place en semaine

Les données sont les suivantes:

• adulte: 49 AUD;
• enfant de 3 à 15 ans: 42 AUD;
• enfant de moins de 2 ans: gratuit.

Le prix d’un groupe composé de \(a\) adultes et de \(e\) enfants est donc:

\[

P_{\text{semaine, place}}(a,e)=49a+42e

\]

Cette expression est linéaire par rapport aux deux variables \(a\) et \(e\). Le nombre d’adultes est multiplié par 49. Le nombre d’enfants payants est multiplié par 42. Les résultats sont ensuite additionnés.

Pour deux adultes et deux enfants:

\[

P_{\text{semaine, place}}(2,2)=49\times2+42\times2

\]

\[

P_{\text{semaine, place}}(2,2)=98+84=182

\]

Le groupe paie donc 182 AUD, selon les tarifs utilisés dans l’exercice.

Tarif en ligne, acheté à l’avance

En semaine, le tarif annoncé est:

• adulte: 39 AUD;
• enfant de 3 à 15 ans: 26 AUD;
• enfant de moins de 2 ans: gratuit.

La fonction devient:

\[

P_{\text{semaine, ligne}}(a,e)=39a+26e

\]

Pour le même groupe:

\[

P_{\text{semaine, ligne}}(2,2)=39\times2+26\times2

\]

\[

P_{\text{semaine, ligne}}(2,2)=78+52=130

\]

La différence entre les deux options est:

\[

182-130=52

\]

L’achat en ligne permet donc une économie de 52 AUD pour ce groupe, avec ces données.

Une expression tarifaire doit distinguer les catégories qui n’ont pas le même prix. Écrire \(42(a+e)\) serait faux: les adultes ne paient pas 42 AUD.

Tarif adulte le week-end

Pour un adulte, les données sont:

La différence ne doit pas être calculée entre 49 et 45 si l’on compare des conditions différentes. Il faut comparer deux tarifs correspondant au même jour.

En semaine:

\[

49-39=10

\]

Le tarif en ligne est inférieur de 10 AUD par adulte.

Le week-end:

\[

57-45=12

\]

Le tarif en ligne est inférieur de 12 AUD par adulte.

Le pourcentage d’économie doit avoir une base clairement définie. Pour comparer le tarif en ligne au tarif sur place en semaine:

\[

\frac{49-39}{49}\times100

=

\frac{10}{49}\times100

\approx20{,}4\%

\]

L’économie est donc d’environ 20,4 % par rapport au tarif sur place en semaine. Le pourcentage peut différer du « jusqu’à 30 % » annoncé globalement, car cette mention dépend des billets et des conditions comparées.

Comparer sur place et en ligne

La comparaison doit respecter un ordre fixe. Sinon, une erreur de priorité ou de référence fausse la conclusion.

Procédure en quatre étapes

1. Identifier la catégorie de chaque visiteur.

Un adulte et un enfant ne correspondent pas au même coefficient.

2. Identifier la période.

Semaine, week-end et vacances scolaires ne sont pas interchangeables.

3. Écrire le prix de chaque option.

Il faut calculer le total, pas seulement le prix unitaire.

4. Soustraire les deux totaux dans le même ordre.

Par exemple: prix sur place moins prix en ligne.

Pour \(a\) adultes en semaine, la comparaison est:

\[

P_{\text{place}}=49a

\]

\[

P_{\text{ligne}}=39a

\]

L’écart vaut:

\[

49a-39a=10a

\]

Si \(a=1\), l’économie est de 10 AUD.

Si \(a=4\), elle est de 40 AUD.

Le coefficient 10 représente l’économie par adulte. La variable \(a\) représente le nombre d’adultes. La multiplication est donc logique.

Exemple avec une famille

Considérons une famille composée de trois adultes et d’un enfant, en semaine.

Sur place:

\[

P_{\text{place}}(3,1)=49\times3+42\times1

\]

\[

P_{\text{place}}(3,1)=147+42=189

\]

En ligne:

\[

P_{\text{ligne}}(3,1)=39\times3+26\times1

\]

\[

P_{\text{ligne}}(3,1)=117+26=143

\]

Économie:

\[

189-143=46

\]

Le choix en ligne réduit le prix de 46 AUD.

Il faut vérifier le résultat par catégorie:

• économie sur les adultes: \(3\times(49-39)=30\) AUD;
• économie sur l’enfant: \(42-26=16\) AUD;
• économie totale: \(30+16=46\) AUD.

Les deux calculs donnent le même résultat. Le contrôle est validé.

Le cas des enfants de moins de 2 ans

Un enfant de moins de 2 ans possède un tarif nul. Il ne doit pas être intégré automatiquement au nombre d’enfants payants.

Si un groupe comprend \(a\) adultes, \(e\) enfants de 3 à 15 ans et \(b\) enfants de moins de 2 ans, alors:

\[

P=49a+42e+0b

\]

Le terme \(0b\) peut être supprimé dans le calcul:

\[

P=49a+42e

\]

Mais la variable \(b\) reste utile pour expliquer pourquoi ces enfants ne modifient pas le prix.

Erreur classique:

\[

42(e+b)

\]

Cette écriture attribue 42 AUD aux enfants de moins de 2 ans. Elle contredit la donnée de gratuité.

Pass multi-attractions: comparer des coûts globaux

Le pass Sydney Big Ticket permet de combiner plusieurs attractions. Les données annoncées sont:

• 2 attractions: 49 AUD au lieu de 106 AUD;
• 4 attractions: 59 AUD au lieu de 197 AUD;
• validité: 60 jours.

L’objectif mathématique n’est pas de mémoriser le nom du pass. Il consiste à comparer le prix d’une formule avec le prix total des visites séparées.

Calcul de l’économie

Pour deux attractions:

\[

106-49=57

\]

L’économie annoncée est de 57 AUD.

Pour quatre attractions:

\[

197-59=138

\]

L’économie annoncée est de 138 AUD.

Le pourcentage d’économie se calcule avec le prix de référence, c’est-à-dire le prix sans pass.

Pour deux attractions:

\[

\frac{106-49}{106}\times100

=

\frac{57}{106}\times100

\approx53{,}8\%

\]

Pour quatre attractions:

\[

\frac{197-59}{197}\times100

=

\frac{138}{197}\times100

\approx70{,}1\%

\]

Les deux comparaisons ne portent pas sur le même nombre d’attractions. Il est donc incorrect de conclure directement que la formule quatre attractions est toujours préférable. Le besoin du visiteur doit correspondre à la formule choisie.

Un pass n’est avantageux que si les attractions supplémentaires sont réellement utilisées. Sinon, l’économie théorique reste un nombre sans effet sur le prix effectivement payé.

Prix moyen par attraction

Le prix moyen permet une lecture rapide, mais il ne remplace pas la comparaison du coût total.

Pour le pass deux attractions:

\[

\frac{49}{2}=24{,}50

\]

Le coût moyen est de 24,50 AUD par attraction.

Pour le pass quatre attractions:

\[

\frac{59}{4}=14{,}75

\]

Le coût moyen est de 14,75 AUD par attraction.

Le pass quatre attractions possède donc le coût moyen le plus faible. Mais il faut acheter quatre accès pour utiliser pleinement ce calcul. Si une seule visite est prévue, cette moyenne n’a pas de sens décisionnel.

Fonction du nombre d’attractions

On peut modéliser le prix moyen selon le nombre \(x\) d’attractions:

\[

f(x)=\frac{59}{x}

\]

Pour \(x=2\), cette expression donne 29,50 AUD. Elle ne décrit donc pas le pass deux attractions, dont le prix annoncé est 49 AUD. Chaque formule doit conserver son propre domaine.

On peut aussi comparer deux stratégies:

• stratégie A: achat séparé, avec un coût \(S(x)\);
• stratégie B: pass quatre attractions, avec un coût constant de 59 AUD.

La stratégie B est avantageuse si:

\[

S(x)>59

\]

Elle est équivalente si:

\[

S(x)=59

\]

Elle est moins avantageuse si:

\[

S(x)<59

\]

Sans les prix séparés de chaque attraction, il est impossible de calculer une valeur exacte de \(S(x)\). Il ne faut donc pas inventer le seuil. Le raisonnement doit utiliser uniquement les données disponibles.

Fonctions linéaires et affines dans un exercice du Brevet

Les exercices de choix tarifaire utilisent souvent deux fonctions.

Fonction linéaire

Une fonction linéaire s’écrit:

\[

f(x)=ax

\]

Elle correspond à un coût proportionnel au nombre \(x\) d’unités.

Exemple: si chaque adulte paie 39 AUD en ligne, alors le prix de \(x\) adultes est:

\[

f(x)=39x

\]

Pour \(x=5\):

\[

f(5)=39\times5=195

\]

Il n’y a pas de coût fixe ajouté.

Fonction affine

Une fonction affine s’écrit:

\[

g(x)=ax+b

\]

Le coefficient \(a\) correspond au coût variable. Le nombre \(b\) correspond à un coût fixe.

Dans une situation hypothétique, une plateforme pourrait facturer 39 AUD par adulte et ajouter 8 AUD de frais fixes:

\[

g(x)=39x+8

\]

Pour cinq adultes:

\[

g(5)=39\times5+8=203

\]

Ces 8 AUD ne doivent pas être multipliés par \(x\). Ils sont payés une seule fois.

Dans les données tarifaires utilisées ici, aucun frais fixe de réservation n’est fourni. Il ne faut donc pas en ajouter dans une modélisation de l’Aquarium de Sydney.

Déterminer un seuil

Supposons deux options abstraites:

\[

f(x)=49x

\]

\[

g(x)=39x+20

\]

La première option coûte 49 AUD par visiteur. La seconde coûte 39 AUD par visiteur, avec 20 AUD de coût fixe.

Pour trouver le nombre de visiteurs à partir duquel la seconde devient moins chère:

\[

49x=39x+20

\]

\[

49x-39x=20

\]

\[

10x=20

\]

\[

x=2

\]

À \(x=2\), les deux prix sont égaux.

Pour \(x>2\), le coefficient variable plus faible de \(g\) devient favorable.

Pour \(x<2\), l’absence de coût fixe rend \(f\) moins chère.

La comparaison doit toujours être faite après résolution de l’équation. Examiner seulement les coefficients 49 et 39 ne suffit pas.

Résoudre un exercice de choix de visite

Un énoncé de type Brevet peut demander de choisir entre une réservation simple et un pass. La méthode suivante évite les confusions.

1. Extraire les données

Écrire séparément:

• le prix adulte;
• le prix enfant;
• la période;
• le mode d’achat;
• le nombre d’attractions;
• la durée de validité;
• les éventuels frais fixes.

Ne pas mélanger une donnée de semaine avec une donnée de week-end.

2. Définir les quantités

Exemples:

• \(a\) pour les adultes;
• \(e\) pour les enfants payants;
• \(x\) pour le nombre de personnes;
• \(n\) pour le nombre d’attractions.

Une même lettre ne doit pas désigner deux quantités différentes dans le même raisonnement.

3. Construire les expressions

Pour deux adultes et \(e\) enfants, en semaine, sur place:

\[

P_1=2\times49+42e

\]

En ligne:

\[

P_2=2\times39+26e

\]

Pour \(e=2\):

\[

P_1=98+84=182

\]

\[

P_2=78+52=130

\]

Donc:

\[

P_2<P_1

\]

La réservation en ligne est la moins chère dans cet exemple.

4. Comparer avec le bon symbole

• \(P_1<P_2\) signifie que l’option 1 est moins chère;
• \(P_1=P_2\) signifie que les deux options coûtent le même prix;
• \(P_1>P_2\) signifie que l’option 2 est moins chère.

Une phrase de conclusion est nécessaire. Une suite de calculs sans décision finale ne répond pas complètement à la question.

5. Vérifier avec un calcul indépendant

On peut recalculer l’écart directement:

\[

P_1-P_2

=

(98+42e)-(78+26e)

\]

\[

P_1-P_2=20+16e

\]

Pour \(e=2\):

\[

20+16\times2=52

\]

On retrouve l’économie de 52 AUD.

Pièges fréquents dans le calcul du prix

Les erreurs sont généralement structurelles. Elles ne viennent pas d’une opération difficile.

Confondre tarif adulte et tarif enfant

Le prix total n’est pas:

\[

49(a+e)

\]

si les enfants paient 42 AUD. Cette formule attribue le tarif adulte à tout le groupe.

La bonne expression est:

\[

49a+42e

\]

Utiliser le tarif sur place pour une réservation en ligne

Une réservation anticipée et un achat sur place correspondent à deux options différentes. Il faut conserver les coefficients associés à chaque option.

En semaine:

\[

49a+42e

\]

sur place, mais:

\[

39a+26e

\]

en ligne.

Appliquer une réduction deux fois

Si le prix en ligne est déjà donné à 39 AUD, il ne faut pas retirer une nouvelle réduction de 30 % sans instruction explicite.

Calculer:

\[

39\times0{,}70

\]

revient à appliquer une remise supplémentaire. Ce résultat ne correspond plus au tarif annoncé.

Mélanger les unités

Les prix sont exprimés en dollars australiens, notés AUD. Une conversion en euros ne doit être effectuée que si un taux de change est fourni.

Sinon, le calcul doit rester en AUD. Ajouter une conversion non demandée introduit une donnée extérieure au problème.

Oublier la validité du pass

Le pass multi-attractions est annoncé comme valable 60 jours. Cette durée constitue une condition d’utilisation.

Si l’énoncé demande si plusieurs visites sont compatibles avec le pass, il faut vérifier que les dates prévues se trouvent dans cette période. Le nombre de jours entre deux dates doit être calculé avec précision. Le jour d’achat et le jour de visite doivent être interprétés selon la règle donnée dans l’énoncé.

Comparer des prix unitaires qui ne portent pas sur le même ensemble

49 AUD pour deux attractions et 59 AUD pour quatre attractions ne sont pas deux prix portant sur le même service.

La comparaison correcte est double:

• prix total de chaque formule;
• nombre d’attractions incluses.

Le prix moyen complète l’analyse, mais ne remplace pas le prix total.

Construire un problème de Brevet à partir des tarifs

Les données de l’Aquarium de Sydney peuvent servir à créer un exercice complet. Il faut cependant séparer les données réelles des hypothèses ajoutées pour le problème.

Exemple de construction:

• une famille comprend deux adultes et deux enfants de 3 à 15 ans;
• la visite a lieu en semaine;
• l’achat est effectué sur place ou en ligne;
• les prix utilisés sont ceux du tableau tarifaire;
• il faut calculer le prix dans chaque cas;
• il faut déterminer l’économie réalisée.

La résolution est directe:

\[

P_{\text{place}}=2\times49+2\times42=182

\]

\[

P_{\text{ligne}}=2\times39+2\times26=130

\]

\[

E=182-130=52

\]

Une deuxième question peut porter sur le pourcentage d’économie:

\[

\frac{52}{182}\times100

\approx28{,}6\%

\]

Le dénominateur est 182, car l’économie est comparée au prix sur place. Utiliser 130 comme dénominateur répondrait à une autre question: l’économie rapportée au prix payé en ligne.

Une troisième question peut demander une représentation graphique. Les deux expressions sont alors définies en fonction du nombre de groupes ou du nombre de visiteurs, selon la modélisation choisie.

Pour \(x\) groupes identiques:

\[

f(x)=182x

\]

\[

g(x)=130x

\]

Les deux fonctions sont linéaires. Le coefficient directeur indique le prix par groupe. Pour tout \(x>0\), \(g(x)<f(x)\), car:

\[

130x<182x

\]

La différence est:

\[

f(x)-g(x)=52x

\]

L’économie augmente donc de 52 AUD par groupe supplémentaire.

La règle est simple: définir les variables, écrire les fonctions, calculer les valeurs, comparer, puis conclure. Toute réponse qui saute une étape devient difficile à contrôler.

Test de vérification rapide

Avant de valider le résultat, effectuer ces cinq contrôles:

1. Âge: les enfants de moins de 2 ans ont-ils bien été comptés à 0 AUD?

2. Période: le tarif utilisé correspond-il à la semaine, au week-end ou aux vacances?

3. Achat: le prix vient-il bien de la colonne « sur place » ou « en ligne » choisie?

4. Catégories: adultes et enfants ont-ils leurs propres coefficients?

5. Conclusion: le prix le plus faible est-il explicitement identifié?

Pour l’exemple de deux adultes et deux enfants en semaine:

\[

182\ \text{AUD sur place}

\]

\[

130\ \text{AUD en ligne}

\]

\[

182-130=52\ \text{AUD}

\]

Le résultat est cohérent: les tarifs unitaires en ligne sont tous inférieurs aux tarifs sur place. Le total en ligne doit donc être inférieur. Le test est validé.

La visite de l’Aquarium de Sydney fournit un contexte concret, mais le mécanisme évalué au Brevet reste mathématique: variables, fonctions, priorités opératoires, comparaison et vérification. Le contexte change. La méthode ne change pas.

Photo: Moatazayman / CC BY-SA 4.0 — Wikimedia Commons