Katmandu Park billets : exercice de pourcentage sur les tarifs

Katmandu Park billets: exercice de pourcentage sur les tarifs

Avec les billets du Katmandu Park à Palma de Majorque, on dispose d’un terrain concret pour construire un exercice de pourcentages: tarifs officiels, packs famille, offres réservées aux résidents et réductions soumises à des conditions particulières.

L’intérêt pédagogique ne réside pas seulement dans l’application d’un coefficient. Il faut aussi comprendre à quel prix la réduction s’applique, vérifier la catégorie de chaque visiteur et comparer des offres qui ne reposent pas toujours sur la même base. Un calcul juste peut ainsi partir d’une mauvaise donnée si l’élève n’a pas correctement lu la grille tarifaire.

Avant de manipuler les pourcentages, aidons l’élève à comprendre qu’un prix n’est jamais isolé: il s’inscrit dans une grille, et c’est l’écart entre deux tarifs qui donne du sens au calcul.

Lire la grille tarifaire comme un tableau de données

La première étape, trop souvent sautée, consiste à extraire proprement les données. Dans l’offre en ligne étudiée, le billet Passport démarre à 31,00 € pour un adulte âgé de 12 ans ou plus et à 22,00 € pour un enfant âgé de 3 ans à moins de 12 ans. Les enfants de moins de 3 ans entrent gratuitement.

Cette précision sur l’âge n’est pas secondaire. Dans un énoncé, elle peut modifier entièrement le calcul final. Un élève de quatrième a généralement 12 ans ou plus: il relève donc du tarif adulte, même s’il est mineur. Le mot « enfant », dans le langage courant, ne suffit pas à déterminer la catégorie tarifaire retenue par le parc.

À ces prix individuels s’ajoutent plusieurs possibilités: un tarif de référence associé au guichet, une offre partenaire de 10 %, un code MALLOR5 de 5 % relayé par Mallorcard, ainsi qu’une offre de 30 % réservée aux membres du Mallorca Fashion Club et valable au guichet. Ces offres ne doivent pas être placées sur le même plan sans préciser leur mode d’utilisation.

Le tableau suivant distingue les prix publiés, les prix réduits et les simples bases de calcul. Cette distinction est essentielle: une base théorique sert à construire un exercice, mais elle ne permet pas d’affirmer que le prix effectivement facturé au guichet sera exactement celui obtenu par le calcul.

Les montants de 33,00 € et de 24,00 € doivent donc être lus comme des bases de référence pour le raisonnement mathématique. Ils ne constituent pas une preuve du prix physique appliqué au guichet hors promotion. De même, le code MALLOR5 n’est pas une remise que l’on pourrait déduire librement de n’importe quel billet: il s’utilise dans les conditions prévues via le lien partenaire de Mallorcard.es.

Le tableau n’est pas un simple confort visuel: il matérialise la notion de proportion. Quand l’élève voit une base de 33,00 € puis un montant de 29,70 € après une réduction de 10 %, il peut se demander quelle part du tarif initial a été conservée. Le calcul consiste alors à identifier que 90 % du prix restent après une réduction de 10 %:

33,00 × 0,90 = 29,70 €.

On peut aussi partir du prix de départ et calculer directement la réduction:

33,00 × 0,10 = 3,30 €, puis 33,00 − 3,30 = 29,70 €.

Ces deux écritures conduisent au même résultat, mais elles ne racontent pas exactement la même chose à l’élève. La première met en évidence la part conservée; la seconde montre la somme retirée avant la soustraction. Dans un exercice de préparation au Brevet, cette distinction est utile: elle permet de vérifier si l’élève comprend le raisonnement ou s’il applique mécaniquement une formule retenue en mémoire.

Ne pas mélanger les catégories

Trois contrôles simples évitent la plupart des erreurs de lecture:

• vérifier l’âge exact correspondant à chaque catégorie;
• distinguer le prix en ligne du prix au guichet;
• identifier si la réduction est déjà intégrée au tarif affiché ou si elle doit encore être calculée.

Un enfant de 11 ans relève ici du tarif enfant, tandis qu’un visiteur de 12 ans relève du tarif adulte. Cette frontière peut sembler peu intuitive, mais elle doit être respectée dans le calcul. De la même manière, un tarif partenaire de 29,70 € ne doit pas recevoir une nouvelle réduction de 10 %: la réduction a déjà été appliquée dans l’offre présentée.

Il faut également regarder la composition des packs. Un pack famille annoncé pour deux adultes et deux enfants ne devient pas automatiquement intéressant pour trois adultes et un enfant, ni pour un groupe de collégiens. La catégorie tarifaire et la composition du groupe interviennent avant l’opération sur les pourcentages.

Le pack famille: quand la réduction cache un calcul de proportion

L’observation la plus parlante concerne le pack famille. Quatre billets achetés séparément — deux adultes et deux enfants, au tarif en ligne officiel — reviennent à:

31,00 + 31,00 + 22,00 + 22,00 = 106,00 €.

Le pack famille officiel, lui, est affiché à 80,00 €. L’économie réalisée est donc de:

106,00 − 80,00 = 26,00 €.

Pour exprimer cette économie sous forme de pourcentage, on la rapporte au prix qui aurait été payé sans le pack:

(26,00 ÷ 106,00) × 100 ≈ 24,5 %.

Le résultat est intéressant parce qu’il oblige à choisir le bon prix de référence. L’économie de 26,00 € ne se rapporte pas au prix du pack, mais au prix des quatre billets achetés séparément. Le pack familial n’est donc pas simplement une « réduction de 20 % », comme on pourrait le supposer en regardant rapidement l’écart entre 106,00 € et 80,00 €.

Pour un élève, cette situation permet de travailler plusieurs gestes mathématiques en même temps:

1. additionner des prix correspondant à deux catégories différentes;

2. calculer une différence en euros;

3. transformer cette différence en pourcentage;

4. interpréter le résultat dans une phrase;

5. annoncer clairement la valeur qui sert de référence.

La comparaison peut être reprise avec le tarif résident. Quatre billets individuels pour deux adultes et deux enfants coûtent:

26,40 + 26,40 + 19,20 + 19,20 = 91,20 €.

Le pack famille résident est proposé à 70,00 €. L’économie est donc de 21,20 €, ce qui représente:

(21,20 ÷ 91,20) × 100 ≈ 23,2 %.

Le pack classique permet ainsi une économie relative d’environ 24,5 %, tandis que le pack résident représente environ 23,2 % du prix individuel résident. Les montants sont différents, mais le raisonnement reste identique. C’est précisément ce transfert que l’on cherche à faire construire: la donnée change, la structure du calcul demeure.

Une question qui oblige à interpréter

On peut demander à l’élève:

Le pack famille classique est plus cher que le pack famille résident. Est-il pour autant moins avantageux?

La question est volontairement formulée pour éviter une comparaison limitée au prix final. Il faut distinguer le montant payé et le taux d’économie. Un prix plus élevé peut correspondre à une offre proportionnellement plus avantageuse si le prix de départ est lui aussi plus élevé.

L’exercice peut être prolongé par une comparaison entre les deux situations:

• économie du pack classique: 26,00 € sur 106,00 €, soit environ 24,5 %;
• économie du pack résident: 21,20 € sur 91,20 €, soit environ 23,2 %.

L’élève doit ensuite expliquer pourquoi les deux pourcentages ne sont pas égaux. Il ne suffit pas d’observer que 26,00 € est supérieur à 21,20 €: le pourcentage dépend à la fois de l’économie et du prix initial.

On peut aussi inverser la question: quelle offre permet de payer le moins cher? Ici, le pack résident coûte 70,00 €, mais cette réponse ne peut être retenue que si la famille remplit effectivement la condition de résidence. Une offre n’est pas seulement un nombre dans une cellule de tableau; elle est liée à un public, à un canal d’achat et parfois à un justificatif.

Comparer deux approches pour appliquer une réduction

Le blocage que nous observons le plus souvent en classe tient en une phrase: « Je ne sais pas si je dois multiplier ou diviser. » Cette hésitation révèle généralement un malentendu sur ce que représente le pourcentage. Il faut distinguer ce qui est appliqué et la valeur à laquelle on l’applique.

Calculer la réduction puis la soustraire

Pour la base de référence adulte de 33,00 €, une réduction partenaire de 10 % conduit au calcul suivant:

• montant de la réduction: 33,00 × 0,10 = 3,30 €;
• montant théorique après réduction: 33,00 − 3,30 = 29,70 €.

Le terme « théorique » a ici son importance. Le calcul montre le résultat associé à la base de 33,00 € indiquée dans l’offre partenaire; il ne permet pas d’établir à lui seul le prix physique facturé au guichet. L’exercice porte sur la transformation mathématique, pas sur une reconstitution de la billetterie du parc.

Cette méthode est plus longue, mais elle laisse apparaître toutes les étapes. Elle convient particulièrement au début d’une séquence, lorsque l’objectif est de donner du sens au pourcentage. L’élève voit ce que signifie « 10 % de 33,00 € » avant de passer à une écriture plus condensée.

Sur la base enfant de 24,00 €, le calcul théorique devient:

• 24,00 × 0,10 = 2,40 € de réduction;
• 24,00 − 2,40 = 21,60 € après réduction.

La présence de deux catégories rend la lecture plus intéressante: le taux reste identique, mais le montant retiré varie puisque le prix de départ n’est pas le même.

Utiliser un coefficient multiplicateur

Retirer 10 % revient à conserver 90 % du prix initial. Le coefficient multiplicateur est donc:

1 − 0,10 = 0,90.

On peut écrire directement:

33,00 × 0,90 = 29,70 €.

Pour la base enfant:

24,00 × 0,90 = 21,60 €.

La méthode est plus rapide et sera souvent privilégiée lorsque plusieurs prix doivent être calculés. Elle doit toutefois être reliée à la première méthode, faute de quoi le coefficient risque de devenir une règle sans signification.

La première méthode montre ce que l’on retire; la seconde montre ce que l’on conserve. L’élève peut passer de l’une à l’autre lorsqu’il comprend qu’elles décrivent la même transformation.

Avec le code MALLOR5, la réduction annoncée est de 5 %. Le coefficient multiplicateur devient 0,95. Si l’on prend comme base les tarifs en ligne de 31,00 € et de 22,00 €, on obtient:

• adulte: 31,00 × 0,95 = 29,45 €;
• enfant: 22,00 × 0,95 = 20,90 €.

Ces montants correspondent à une application mathématique du taux sur ces bases. Dans la pratique, MALLOR5 doit être utilisé uniquement selon les conditions du lien partenaire de Mallorcard.es. Il ne faut donc pas présenter ces résultats comme des prix disponibles dans toutes les situations, ni ajouter le code à une offre qui bénéficierait déjà d’une autre réduction.

La comparaison avec les montants de 29,70 € et de 21,60 € permet justement de rappeler qu’un prix réduit n’est comparable qu’après identification de sa base. Deux offres peuvent afficher des résultats proches tout en reposant sur des tarifs initiaux différents.

Remonter au prix initial

Les élèves travaillent souvent la réduction dans le sens « prix initial vers prix réduit ». On peut aussi les faire réfléchir dans l’autre sens. Si un prix correspond à 90 % du tarif de départ, il ne faut pas retirer 10 % du prix réduit pour retrouver le tarif initial. Il faut diviser par 0,90.

Par exemple:

29,70 ÷ 0,90 = 33,00 €.

Cette situation permet de mettre en évidence la différence entre une réduction et une augmentation. Une baisse de 10 % suivie d’une hausse de 10 % ne ramène pas au prix de départ, car les deux pourcentages ne s’appliquent pas à la même base. Même si cette extension dépasse le calcul immédiat du billet, elle donne une profondeur utile à la séquence sur les pourcentages.

On peut demander aux élèves de rédiger une phrase pour chaque opération:

• « 29,70 € représente 90 % de 33,00 €. »
• « 3,30 € représente 10 % de 33,00 €. »
• « Le coefficient 0,90 correspond à la part conservée après la réduction. »

La rédaction oblige à ne pas confondre le taux, le montant de la remise et le prix final.

Étude de cas: tarifs résidents et offres partenaires

Pour enrichir l’exercice, on peut proposer la situation d’une famille de quatre personnes: deux adultes et deux enfants de 8 et 10 ans séjournent à Majorque. Elle hésite entre le tarif en ligne officiel et le tarif réservé aux résidents des Baléares.

Achat individuel ou pack famille

Avec le tarif en ligne officiel, l’achat individuel coûte:

31,00 + 31,00 + 22,00 + 22,00 = 106,00 €.

Le pack famille permet de payer 80,00 €. L’économie est de 26,00 €, soit environ 24,5 % du prix individuel.

Avec le tarif résident, l’achat individuel coûte:

26,40 + 26,40 + 19,20 + 19,20 = 91,20 €.

Le pack famille résident coûte 70,00 €. L’économie est donc de 21,20 €, soit environ 23,2 % du prix individuel résident.

L’élève peut alors calculer l’écart entre les deux statuts:

• achat individuel: 106,00 − 91,20 = 14,80 €;
• pack famille: 80,00 − 70,00 = 10,00 €.

Si l’on rapporte ces écarts au prix officiel correspondant, le tarif résident représente une économie d’environ 14 % sur l’achat individuel et de 12,5 % sur le pack famille. Le dénominateur doit être annoncé à chaque fois: « 14,80 € sur 106,00 € » ne répond pas à la même question que « 10,00 € sur 80,00 € ».

Cette étape peut donner lieu à une discussion sur les arrondis. Le résultat exact obtenu avec la calculatrice peut comporter davantage de décimales, alors que le prix d’un billet est exprimé en centimes. L’élève doit savoir à quel moment arrondir et ne pas arrondir trop tôt, au risque de propager une petite erreur dans le total du groupe.

Ajouter une offre au guichet sans inventer le prix facturé

On peut ensuite introduire l’offre Fashion Outlet de 30 % au guichet, applicable sur présentation de la carte du club. Pour l’exercice, les valeurs de 33,00 € pour un adulte et de 24,00 € pour un enfant sont utilisées comme bases théoriques associées à cette offre.

Le coefficient multiplicateur est:

1 − 0,30 = 0,70.

Le calcul donne alors:

• adulte: 33,00 × 0,70 = 23,10 €;
• enfant: 24,00 × 0,70 = 16,80 €.

Ces résultats sont des montants théoriques issus des bases indiquées. Ils ne doivent pas être présentés comme les prix réels nécessairement facturés au guichet, puisque le tarif physique exact hors promotion n’est pas établi par ces seules données.

Pour la famille entière, on peut néanmoins construire le calcul théorique suivant:

2 × 23,10 + 2 × 16,80 = 79,80 €.

Le résultat est proche du pack famille officiel en ligne, affiché à 80,00 €. Cette proximité invite à comparer les conditions plutôt qu’à retenir uniquement le montant final. L’offre au guichet suppose de disposer de la carte requise; le pack famille correspond à une composition précise, avec deux adultes et deux enfants; le tarif résident dépend d’un statut particulier. Quant aux 79,80 €, ils servent ici à comparer deux modèles de calcul, pas à certifier une facturation au guichet.

Ce tableau offre un support pour une question d’argumentation: quelle solution choisir si la famille dispose de la carte Fashion Outlet, mais ne bénéficie pas du statut de résident? La réponse peut être purement numérique, mais l’élève doit aussi préciser que 79,80 € est le résultat d’un calcul théorique sur quatre billets individuels, tandis que le pack famille coûte 80,00 € en ligne. La différence de 0,20 € est suffisamment faible pour ouvrir une discussion sur l’arrondi et sur la nécessité de vérifier les conditions concrètes avant de conclure.

Ce qui compte n’est pas de trouver une « bonne » offre dans l’absolu, mais de comprendre que le choix repose sur une base de calcul, un taux et des conditions qu’il faut savoir identifier.

Exercice d’application: optimiser un budget de sortie scolaire

Pour clore la séquence, on peut proposer un exercice mobilisable en classe entière, en devoir maison ou en préparation au Brevet. Il s’appuie sur les tarifs en ligne étudiés et place les élèves devant une difficulté de lecture plus importante: l’âge des visiteurs modifie la catégorie tarifaire.

Énoncé

Une classe de 28 élèves de quatrième se rend au Katmandu Park dans le cadre d’un voyage scolaire. Elle est accompagnée de trois adultes et dispose d’un budget global de 900 € pour les billets. À l’aide des tarifs en ligne affichés dans la grille étudiée, déterminer si le budget suffit pour acheter un billet Passport individuel à chaque personne.

Si le budget ne suffit pas, calculer la somme manquante. Puis étudier l’effet d’une réduction partenaire de 10 % appliquée aux billets individuels, en précisant si cette nouvelle solution respecte le budget.

Analyse des catégories tarifaires

La première donnée à traiter n’est pas le prix: c’est l’âge des élèves. Des élèves de quatrième ont normalement 12 ans ou plus et relèvent donc du tarif adulte. Ils ne doivent pas être comptés comme des enfants simplement parce qu’ils sont mineurs ou scolarisés au collège.

Le groupe comprend:

• 28 élèves de 12 ans ou plus, donc 28 billets adultes;
• 3 accompagnateurs adultes, donc 3 billets adultes;
• au total, 31 billets adultes.

Le prix enfant de 22,00 € n’intervient pas dans ce calcul. Il serait utilisé pour des enfants âgés de 3 ans à moins de 12 ans, ce qui n’est pas la situation décrite dans l’énoncé.

Calcul du tarif individuel

Le tarif adulte en ligne est de 31,00 €. Le coût total est donc:

31 × 31,00 = 961,00 €.

On compare ensuite ce montant au budget disponible:

961,00 − 900,00 = 61,00 €.

Le budget de 900 € ne suffit pas. Il manque exactement 61,00 € pour acheter les 31 billets adultes individuels au tarif en ligne étudié.

Cette conclusion est différente de celle que l’on obtiendrait en utilisant par erreur le tarif enfant pour les 28 élèves:

3 × 31,00 + 28 × 22,00 = 709,00 €.

Ce calcul de 709,00 € est arithmétiquement correct, mais il ne correspond pas à la situation de l’énoncé. Il attribue aux élèves une catégorie tarifaire qui n’est pas la leur. C’est un cas particulièrement utile en classe: une opération peut être bien posée et bien exécutée tout en donnant une réponse fausse parce que les données ont été mal interprétées.

Tester la réduction partenaire

En prenant comme base l’offre partenaire indiquée, la réduction de 10 % conduit à un montant de 29,70 € par billet adulte. Pour 31 personnes:

31 × 29,70 = 920,70 €.

La réduction permet donc de diminuer la dépense de:

961,00 − 920,70 = 40,30 €.

Mais le budget reste insuffisant:

920,70 − 900,00 = 20,70 €.

Même avec l’offre partenaire, il manque donc 20,70 €. La réduction améliore nettement la situation, mais elle ne suffit pas à rendre le projet compatible avec le budget fixé.

Dans un corrigé, il faut préciser que ce calcul utilise le montant adulte présenté par l’offre partenaire. Il ne faut pas le transformer en affirmation générale sur tous les tarifs disponibles au guichet ou sur toutes les dates de visite. L’énoncé mathématique doit isoler clairement ses hypothèses: nombre de billets, catégorie des visiteurs, tarif retenu et taux de réduction.

Chercher une autre organisation du budget

On peut prolonger l’exercice en demandant aux élèves quelles informations supplémentaires seraient nécessaires pour réduire encore la dépense. Plusieurs pistes apparaissent, mais elles ne sont pas toutes disponibles pour ce groupe:

• le pack famille ne correspond pas directement à une classe de 28 élèves et 3 adultes;
• le tarif résident ne peut être retenu que si les visiteurs remplissent la condition correspondante;
• le code MALLOR5 doit être utilisé selon les modalités du partenaire et ne peut pas être ajouté automatiquement à la réduction de 10 %;
• une offre réservée à un club ou à une carte particulière dépend de la possession réelle de cette carte;
• le nombre de billets et leur catégorie doivent rester cohérents avec la composition du groupe.

Cette dernière étape est intéressante parce qu’elle oblige à distinguer une possibilité mathématique d’une possibilité commerciale. On peut calculer 30 % d’une base de référence, mais cela ne signifie pas que toute classe peut obtenir cette réduction. On peut comparer 70,00 € et 80,00 €, mais cela ne suffit pas à choisir le pack résident si personne ne possède le statut requis.

L’exercice peut également demander aux élèves de rédiger une réponse complète, et non de fournir uniquement un nombre:

« Le groupe compte 31 personnes âgées de 12 ans ou plus. Au tarif individuel de 31,00 €, la dépense s’élève à 961,00 €. Le budget de 900,00 € est donc dépassé de 61,00 €. Avec la réduction partenaire, le coût calculé est de 920,70 €, soit encore 20,70 € de plus que le budget. »

Cette rédaction fait apparaître les données utilisées, les opérations et la conclusion. Elle permet aussi de repérer les erreurs de catégorie qui resteraient invisibles dans une série de calculs isolés.

Faire du prix un véritable support de raisonnement

Les billets du Katmandu Park offrent un contexte concret pour travailler les pourcentages au collège, mais l’intérêt de l’exercice dépasse le simple calcul d’une remise. L’élève doit comprendre qu’un tarif dépend d’une catégorie, d’un canal d’achat, d’une composition de groupe et de conditions d’éligibilité.

Le pack famille permet de travailler la comparaison entre un prix global et l’achat de billets séparés. Les tarifs résidents introduisent la question de la base de référence et du statut nécessaire pour accéder à l’offre. Les réductions partenaires donnent l’occasion de passer du taux au coefficient multiplicateur. Enfin, la sortie scolaire montre qu’une erreur de lecture — compter des collégiens comme des enfants — peut modifier toute la conclusion budgétaire.

La précaution sur les bases de 33,00 € et de 24,00 € est tout aussi formatrice. En mathématiques, un calcul peut être exact sans que la situation qu’il décrit soit correctement interprétée. Présenter ces montants comme des bases théoriques permet de conserver la richesse de l’exercice sans attribuer au guichet un prix qui n’est pas confirmé.

C’est là que le contexte touristique devient utile pour la préparation au Brevet: les élèves ne répondent pas seulement à la question « combien? ». Ils doivent aussi pouvoir dire « à partir de quel prix? », « pour quelle catégorie? », « avec quelle réduction? » et « sous quelles conditions? ». Le pourcentage cesse alors d’être une opération isolée. Il devient un outil pour lire, comparer et justifier une décision.