Simplification d'une racine carrée : la méthode pas à pas
Face à une expression comme \(\sqrt{50}\), beaucoup d'élèves savent calculer \(\sqrt{25}\) ou \(\sqrt{100}\), mais ne voient pas immédiatement quoi faire lorsque le nombre sous le radical n'est pas un carré parfait.
Simplification d'une racine carrée: la méthode pas à pas
Le blocage ne vient pas toujours d'un manque de calcul: il vient souvent d'une difficulté à repérer la structure cachée du nombre.
Pour simplifier une racine carrée, nous ne cherchons pas une valeur décimale approximative. Nous essayons de faire apparaître, à l'intérieur du nombre, un carré parfait dont la racine pourra sortir du radical. Ainsi, \(\sqrt{50}\) devient \(5\sqrt{2}\), et \(\sqrt{72}\) devient \(6\sqrt{2}\).
Cette méthode repose sur une propriété précise des racines carrées et sur une habitude de décomposition. Une fois l'ancrage construit, la simplification cesse d'être une devinette: elle devient une succession d'étapes lisibles.
Comprendre ce que signifie une racine carrée
Par définition, la racine carrée d'un nombre positif ou nul \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif dont le carré vaut \(a\).
Autrement dit:
\[
\sqrt{a}=b \quad \Longleftrightarrow \quad b^2=a \text{ avec } b\geq 0
\]
Par exemple:
\[
\sqrt{25}=5
\]
car:
\[
5^2=25
\]
La racine carrée de 25 est donc posée comme le nombre positif 5. Dans le cadre usuel du collège, le symbole \(\sqrt{25}\) désigne ce nombre positif, et non \(\pm 5\). Il faut distinguer cette écriture de l'équation \(x^2=25\), qui possède deux solutions, \(x=5\) et \(x=-5\).
Cette distinction paraît élémentaire, mais elle joue un rôle dans toute la suite: lorsque nous faisons sortir un carré parfait d'une racine, nous en faisons sortir sa racine positive.
Les carrés parfaits à connaître
Un carré parfait est un nombre qui peut s'écrire comme le carré d'un entier. Les premiers carrés parfaits forment une petite réserve de repères:
| Entier | Carré parfait |
|---|---|
| \(1\) | \(1^2=1\) |
| \(2\) | \(2^2=4\) |
| \(3\) | \(3^2=9\) |
| \(4\) | \(4^2=16\) |
| \(5\) | \(5^2=25\) |
| \(6\) | \(6^2=36\) |
| \(7\) | \(7^2=49\) |
| \(8\) | \(8^2=64\) |
| \(9\) | \(9^2=81\) |
| \(10\) | \(10^2=100\) |
| \(11\) | \(11^2=121\) |
| \(12\) | \(12^2=144\) |
| \(13\) | \(13^2=169\) |
| \(14\) | \(14^2=196\) |
| \(15\) | \(15^2=225\) |
Nous n'avons pas besoin de mémoriser une longue liste avant de commencer. Toutefois, connaître au moins les carrés jusqu'à \(15^2\) réduit la charge cognitive: l'élève peut consacrer son attention à la décomposition plutôt qu'à une recherche permanente de résultats élémentaires.
La propriété qui permet de simplifier
La simplification repose sur la propriété multiplicative:
\[
\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}
\]
pour deux nombres positifs ou nuls \(a\) et \(b\).
Cette formule devient utile lorsque l'un des facteurs est un carré parfait. Supposons que nous voulions simplifier \(\sqrt{50}\). Nous pouvons écrire:
\[
50=25\times2
\]
Donc:
\[
\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}
\]
En appliquant la propriété du produit:
\[
\sqrt{50}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}
\]
Or \(\sqrt{25}=5\). Nous obtenons alors:
\[
\boxed{\sqrt{50}=5\sqrt{2}}
\]
Le nombre 2 reste sous le radical parce qu'il n'est pas un carré parfait. La racine est donc simplifiée, mais elle n'est pas entièrement calculée.
Simplifier une racine carrée, ce n'est pas remplacer le radical par un nombre décimal: c'est extraire tous les carrés parfaits qui peuvent l'être.
Cette idée mérite d'être stabilisée. Dans \(\sqrt{50}\), le nombre 50 n'est pas un carré parfait. Pourtant, il contient le facteur carré \(25\). C'est cette partie cachée qui peut être extraite.
La méthode simple pour simplifier une racine carrée
Pour simplifier \(\sqrt{N}\), nous cherchons le plus grand carré parfait qui divise \(N\). Puis nous séparons ce carré du facteur restant.
La démarche peut être formulée ainsi:
1. Repérer les carrés parfaits qui pourraient diviser le nombre.
Pour 72, on peut penser à 36, 9 ou 4. Le plus grand est 36.
2. Écrire le nombre sous le radical comme un produit.
\[
72=36\times2
\]
3. Séparer la racine du produit.
\[
\sqrt{72}=\sqrt{36}\times\sqrt{2}
\]
4. Calculer la racine du carré parfait.
\[
\sqrt{36}=6
\]
5. Conserver sous le radical le facteur qui ne peut pas sortir.
\[
\boxed{\sqrt{72}=6\sqrt{2}}
\]
Le qualificatif « plus grand » n'est pas décoratif. Si nous choisissons un carré parfait trop petit, la première simplification peut être correcte, mais elle risque de ne pas être terminée.
Exemple: \(\sqrt{48}\)
Le plus grand carré parfait qui divise 48 est 16:
\[
48=16\times3
\]
Nous pouvons donc écrire:
\[
\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}
\]
Puis:
\[
\sqrt{48}=\sqrt{16}\times\sqrt{3}
\]
et finalement:
\[
\boxed{\sqrt{48}=4\sqrt{3}}
\]
La forme \(4\sqrt{3}\) est simplifiée. En revanche, \(\sqrt{48}=2\sqrt{12}\) n'est pas la forme la plus aboutie, car 12 contient encore un carré parfait:
\[
12=4\times3
\]
Ainsi:
\[
2\sqrt{12}=2\sqrt{4\times3}=2\times2\sqrt{3}=4\sqrt{3}
\]
Nous avons simplement effectué le travail en deux temps au lieu de repérer directement le facteur 16.
Exemple: \(\sqrt{180}\)
Pour 180, plusieurs décompositions sont possibles:
\[
180=36\times5
\]
Le facteur 36 est un carré parfait, et il est plus grand que 9 ou 4 parmi les carrés parfaits qui divisent 180. Nous obtenons:
\[
\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}
\]
\[
\sqrt{180}=\sqrt{36}\times\sqrt{5}
\]
\[
\boxed{\sqrt{180}=6\sqrt{5}}
\]
Une décomposition par facteurs premiers fonctionnerait également, mais elle demanderait davantage d'écritures. Pour un calcul courant, le repérage direct du plus grand carré parfait est souvent plus économique.
Deux approches: chercher un carré parfait ou décomposer en facteurs premiers
Nous pouvons bâtir la simplification de deux manières. Elles s'appuient sur la même propriété, mais ne sollicitent pas exactement les mêmes connaissances.
La recherche directe du carré parfait
Cette approche consiste à examiner les carrés parfaits connus et à trouver le plus grand qui divise le nombre.
Pour \(\sqrt{108}\), nous remarquons que:
\[
108=36\times3
\]
Donc:
\[
\sqrt{108}=6\sqrt{3}
\]
Cette méthode est rapide lorsque le nombre reste relativement familier et que les carrés parfaits sont bien ancrés. Elle convient particulièrement aux exercices de calcul numérique du collège, car elle permet de limiter la longueur de la démarche.
La décomposition en facteurs premiers
Lorsque le nombre est moins immédiatement lisible, la décomposition en facteurs premiers fournit une méthode plus systématique.
Prenons:
\[
117=3\times3\times13
\]
Nous pouvons regrouper les deux facteurs 3:
\[
117=3^2\times13
\]
Alors:
\[
\sqrt{117}=\sqrt{3^2\times13}
\]
La paire de facteurs 3 forme un carré parfait et peut sortir de la racine:
\[
\boxed{\sqrt{117}=3\sqrt{13}}
\]
La logique est la suivante: dans une racine carrée, deux facteurs identiques peuvent être regroupés pour former le carré d'un facteur qui sortira du radical.
Pour un autre exemple:
\[
200=2\times2\times2\times5\times5
\]
Nous regroupons les facteurs identiques par paires:
\[
200=(2\times2)\times(5\times5)\times2
\]
Donc:
\[
\sqrt{200}=2\times5\sqrt{2}
\]
et:
\[
\boxed{\sqrt{200}=10\sqrt{2}}
\]
Quelle approche choisir?
| Situation rencontrée | Approche la plus adaptée | Pourquoi |
|---|---|---|
| Le nombre contient clairement \(4\), \(9\), \(16\), \(25\), \(36\), \(49\), etc. | Recherche directe | Le calcul est plus court et plus lisible. |
| Le nombre est grand ou ses diviseurs sont difficiles à repérer | Facteurs premiers | La démarche est systématique et évite les essais au hasard. |
| L'élève confond les facteurs et les termes d'une somme | Décomposition écrite en produit | Elle rend visible la propriété utilisée. |
| La racine doit être simplifiée dans une expression plus longue | Plus grand carré parfait | On limite les étapes et les risques d'erreur de calcul. |
Nous pouvons donc enseigner les deux méthodes sans les opposer artificiellement. La recherche directe construit la rapidité et les réflexes numériques; la décomposition en facteurs premiers étaye le raisonnement lorsque le repérage immédiat ne suffit plus.
Quelle que soit la méthode choisie, c'est toujours la même propriété du produit qui justifie la sortie du carré parfait.
Pourquoi certaines erreurs apparaissent
Les erreurs liées aux racines carrées sont rarement aléatoires. Elles révèlent souvent une propriété mal identifiée ou une surcharge de la mémoire de travail. L'élève connaît parfois plusieurs règles, mais ne sait plus laquelle correspond à la structure observée.
Confondre produit et somme
La propriété:
\[
\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}
\]
concerne un produit. Elle ne se transpose pas à une addition ou à une soustraction.
Ainsi:
\[
\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
\]
alors que:
\[
\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7
\]
Nous avons donc:
\[
\boxed{\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}}
\]
en général.
Cette erreur est compréhensible: dans d'autres contextes algébriques, certaines transformations semblent pouvoir se distribuer. Mais ici, le radical ne se distribue pas sur une somme. Pour aider l'élève à consolider cette distinction, un contre-exemple numérique est souvent plus efficace qu'une longue explication abstraite.
Extraire un facteur qui n'est pas un carré parfait
Dans \(\sqrt{45}\), certains élèves écrivent parfois directement \(5\sqrt{...}\) en remarquant que 5 divise 45. Cette intuition est légitime, mais le nombre qui sort doit être la racine carrée d'un carré parfait, et non un diviseur quelconque:
\[
45=9\times5
\]
\[
\sqrt{45}=\sqrt{9}\times\sqrt{5}=3\sqrt{5}
\]
Ce n'est pas le facteur 9 qui sort tel quel; c'est sa racine, 3. La sortie suit toujours la même règle: on extrait la racine d'un carré parfait, jamais un facteur brut qui ne serait pas un carré.
S'arrêter trop tôt
Considérons:
\[
\sqrt{80}
\]
Une première décomposition possible est:
\[
80=4\times20
\]
d'où:
\[
\sqrt{80}=2\sqrt{20}
\]
Mais 20 contient encore le facteur carré 4:
\[
\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}
\]
Donc:
\[
\sqrt{80}=2\times2\sqrt{5}=4\sqrt{5}
\]
La forme simplifiée est:
\[
\boxed{\sqrt{80}=4\sqrt{5}}
\]
Pour éviter cet arrêt prématuré, nous pouvons nous poser une question simple: le nombre qui reste sous le radical possède-t-il encore un diviseur carré parfait supérieur à 1? Si la réponse est oui, la simplification continue.
Écrire \(\sqrt{25}=\pm5\)
Le symbole \(\pm\) n'a pas sa place dans la valeur de la racine carrée:
\[
\sqrt{25}=5
\]
En revanche, dans une équation comme:
\[
x^2=25
\]
les solutions sont:
\[
x=5 \quad \text{ou} \quad x=-5
\]
La différence vient de la question posée. Une racine carrée désigne le nombre positif associé au carré; une équation cherche toutes les valeurs possibles de l'inconnue.
Une procédure écrite qui réduit les hésitations
Dans un exercice, la présentation des étapes participe à la compréhension. Écrire uniquement le résultat final peut masquer le raisonnement et rendre l'erreur difficile à localiser. Une mise en forme régulière aide à bâtir une véritable progression.
Pour \(\sqrt{252}\), nous pouvons procéder ainsi:
\[
252=36\times7
\]
\[
\sqrt{252}=\sqrt{36\times7}
\]
\[
\sqrt{252}=\sqrt{36}\times\sqrt{7}
\]
\[
\boxed{\sqrt{252}=6\sqrt{7}}
\]
Chaque ligne possède une fonction:
- la première décompose le nombre;
- la deuxième prépare l'application de la propriété;
- la troisième sépare les racines;
- la dernière effectue le calcul possible.
Cette organisation est particulièrement utile lorsque l'élève doit ensuite additionner, soustraire ou multiplier des expressions contenant des racines. Elle permet de distinguer la décomposition numérique de la transformation algébrique.
Cas où la racine est déjà simplifiée
Toutes les racines carrées ne peuvent pas être réduites davantage. Dans \(\sqrt{13}\), le nombre 13 ne possède aucun diviseur carré parfait supérieur à 1. La forme \(\sqrt{13}\) est donc déjà simplifiée.
Il en va de même pour \(\sqrt{7}\), \(\sqrt{11}\) ou \(\sqrt{19}\). Ces nombres ne sont pas des carrés parfaits et, lorsqu'ils sont premiers, aucun carré parfait autre que 1 ne les divise.
À l'inverse:
\[
\sqrt{49}=7
\]
car le nombre sous le radical est lui-même un carré parfait.
Nous pouvons retenir trois situations:
1. Le nombre est un carré parfait: la racine se calcule entièrement.
\[
\sqrt{64}=8
\]
2. Le nombre contient un carré parfait et un autre facteur: la racine se simplifie partiellement.
\[
\sqrt{72}=6\sqrt{2}
\]
3. Le nombre ne contient pas de carré parfait utile: la racine reste telle quelle.
\[
\sqrt{13}=\sqrt{13}
\]
S'entraîner avec des exemples corrigés
L'entraînement devient plus formateur lorsque chaque exercice oblige à identifier une stratégie, et pas seulement à reproduire une ligne de calcul.
Exercice 1: \(\sqrt{32}\)
Le plus grand carré parfait qui divise 32 est 16:
\[
32=16\times2
\]
Donc:
\[
\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}
\]
\[
\sqrt{32}=4\sqrt{2}
\]
Ainsi:
\[
\boxed{\sqrt{32}=4\sqrt{2}}
\]
Exercice 2: \(\sqrt{63}\)
Nous cherchons un carré parfait divisant 63. Le carré 9 convient:
\[
63=9\times7
\]
Alors:
\[
\sqrt{63}=\sqrt{9}\times\sqrt{7}
\]
\[
\boxed{\sqrt{63}=3\sqrt{7}}
\]
Exercice 3: \(\sqrt{96}\)
Le carré parfait 16 divise 96, et 16 est justement le plus grand carré parfait qui divise 96: 36, 49, 64 et 81 ne divisent pas 96, et 16 donne le facteur restant 6, qui ne contient aucun carré parfait supérieur à 1.
\[
96=16\times6
\]
Donc:
\[
\sqrt{96}=\sqrt{16}\times\sqrt{6}=4\sqrt{6}
\]
Nous pourrions aussi écrire:
\[
96=4\times24
\]
puis simplifier encore:
\[
\sqrt{96}=2\sqrt{24}=2\sqrt{4\times6}=4\sqrt{6}
\]
Le résultat final est identique, mais la première décomposition par 16 est plus directe: nous touchons du doigt le plus grand carré parfait d'un seul coup.
Exercice 4: \(\sqrt{225}\)
Ici, le nombre sous le radical est un carré parfait:
\[
225=15^2
\]
Donc:
\[
\boxed{\sqrt{225}=15}
\]
Il serait inutile de chercher une décomposition en facteurs premiers: la valeur peut être obtenue immédiatement à partir des carrés connus.
Exercice 5: \(\sqrt{150}\)
Nous repérons:
\[
150=25\times6
\]
Ainsi:
\[
\sqrt{150}=\sqrt{25\times6}
\]
\[
\sqrt{150}=5\sqrt{6}
\]
Donc:
\[
\boxed{\sqrt{150}=5\sqrt{6}}
\]
Le facteur 6 reste sous le radical. Il ne contient aucun carré parfait supérieur à 1.
Exercice 6: \(\sqrt{117}\) par les facteurs premiers
Nous pouvons écrire:
\[
117=3\times3\times13
\]
Puis:
\[
\sqrt{117}=\sqrt{3\times3\times13}
\]
Les deux facteurs 3 forment le carré \(3^2\):
\[
\sqrt{117}=3\sqrt{13}
\]
Ainsi:
\[
\boxed{\sqrt{117}=3\sqrt{13}}
\]
Cet exemple montre que la décomposition en facteurs premiers n'est pas une autre règle. C'est une autre manière de faire apparaître les carrés parfaits.
Exercice 7: \(\sqrt{200}\)
Par recherche directe, nous repérons que 100 divise 200:
\[
200=100\times2
\]
Donc:
\[
\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt{2}=10\sqrt{2}
\]
Ainsi:
\[
\boxed{\sqrt{200}=10\sqrt{2}}
\]
Cet exercice illustre un cas où le plus grand carré parfait est immédiatement visible: il n'est pas nécessaire de passer par la décomposition en facteurs premiers.
Vérifier un résultat sans tout recommencer
Une simplification peut être contrôlée en élevant le résultat au carré.
Prenons:
\[
\sqrt{72}=6\sqrt{2}
\]
Si nous élevons le membre de droite au carré:
\[
(6\sqrt{2})^2=6^2\times(\sqrt{2})^2
\]
\[
(6\sqrt{2})^2=36\times2=72
\]
Nous retrouvons bien le nombre de départ.
Pour:
\[
\sqrt{48}=4\sqrt{3}
\]
nous avons:
\[
(4\sqrt{3})^2=4^2\times(\sqrt{3})^2=16\times3=48
\]
Cette vérification ne remplace pas le raisonnement, mais elle permet de repérer rapidement une erreur de facteur. Si un élève propose \(3\sqrt{2}\) pour \(\sqrt{72}\), le carré du résultat vaut \(18\), et non 72: l'écart indique immédiatement que la décomposition n'a pas été menée correctement.
Nous pouvons aussi vérifier que le facteur resté sous le radical ne contient plus de carré parfait. Pour \(6\sqrt{2}\), le nombre 2 est irréductible dans ce cadre. Pour \(4\sqrt{3}\), le nombre 3 l'est également.
Utiliser les racines carrées dans un calcul
La simplification prend tout son sens lorsqu'elle prépare un calcul ultérieur. Les expressions doivent être mises sous une forme comparable avant d'être additionnées ou soustraites.
Par exemple:
\[
\sqrt{50}+\sqrt{8}
\]
Nous simplifions séparément:
\[
\sqrt{50}=5\sqrt{2}
\]
et:
\[
\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}
\]
L'expression devient donc:
\[
5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=7\sqrt{2}
\]
Ainsi:
\[
\boxed{\sqrt{50}+\sqrt{8}=7\sqrt{2}}
\]
La simplification fait apparaître deux termes semblables. Avant cette étape, ils semblaient différents; après la décomposition, ils possèdent le même radical.
De même, une expression comme:
\[
\sqrt{27}-\sqrt{12}
\]
se simplifie en:
\[
\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}
\]
\[
\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}
\]
Donc:
\[
\sqrt{27}-\sqrt{12}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}
\]
La simplification n'est donc pas seulement un exercice isolé: elle prépare la suite. Additionner, soustraire ou factoriser des radicaux devient possible une fois que la forme \(a\sqrt{b}\) est obtenue.
Quand la méthode se prolonge vers les expressions algébriques
Le même réflexe se transpose lorsque la racine porte sur une expression contenant une lettre. Si nous rencontrons \(\sqrt{18x^2}\) avec \(x\geq 0\), nous cherchons le plus grand carré parfait qui divise \(18x^2\): c'est \(9x^2\).
\[
18x^2=9x^2\times2
\]
\[
\sqrt{18x^2}=\sqrt{9x^2}\times\sqrt{2}=3x\sqrt{2}
\]
La logique est strictement la même: repérer le carré parfait, le sortir, conserver le facteur restant. La lettre ne change rien au mécanisme, elle précise simplement la forme attendue du résultat final.
Synthèse de la méthode
La simplification d'une racine carrée tient en peu d'étapes, mais chacune demande un regard particulier:
1. Repérer le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous le radical.
2. Décomposer le nombre en un produit faisant apparaître ce carré parfait.
3. Appliquer la propriété \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\).
4. Extraire la racine du carré parfait hors du radical.
5. Vérifier que le facteur restant sous le radical ne contient plus aucun carré parfait.
6. Contrôler le résultat en élevant l'expression simplifiée au carré.
Ces six gestes finissent par s'enchaîner sans qu'il soit nécessaire de les nommer à chaque fois. L'élève qui les a pratiqués sur une dizaine d'exemples commence à voir la structure d'un nombre sans la chercher consciemment: un réflexe utile bien au-delà du chapitre sur les racines carrées, parce qu'il s'appuie sur la même attention aux facteurs que la décomposition en facteurs premiers ou la réduction des fractions.