Comparaison de fractions : quelle méthode choisir ?
L’erreur la plus fréquente est immédiate: comparer séparément les numérateurs et les dénominateurs. Écrire que \( \frac{3}{7} > \frac{2}{5} \) parce que 3 > 2 et 7 > 5 ne constitue pas un raisonnement. Deux variables changent en même temps.
Comparaison de fractions: quelle méthode choisir?
Il faut donc choisir une méthode qui les relie.
La bonne méthode pour comparer deux fractions dépend de leur écriture. Certains cas se règlent mentalement en deux secondes. D’autres exigent un dénominateur commun ou deux produits. Le calcul doit être proportionné au problème.
Une comparaison juste ne commence pas par un calcul long. Elle commence par l’identification de la structure des fractions.
Les repères 0, 0,5 et 1: la méthode la plus courte dans les cas simples
Avant toute transformation, observer la position de chaque fraction par rapport à 0, à \( \frac{1}{2} \) et à 1. Ces trois repères suffisent souvent à trancher.
Pour une fraction positive \( \frac{a}{b} \), avec \(b>0\):
- si \(a<b\), alors \( \frac{a}{b}<1 \);
- si \(a=b\), alors \( \frac{a}{b}=1 \);
- si \(a>b\), alors \( \frac{a}{b}>1 \).
Exemple:
\[
\frac{9}{8} \quad \text{et} \quad \frac{11}{13}
\]
La première fraction est supérieure à 1 car 9 > 8. La seconde est inférieure à 1 car 11 < 13. Donc:
\[
\frac{9}{8}>\frac{11}{13}
\]
Aucun dénominateur commun n’est nécessaire.
Le repère \( \frac{1}{2} \) fonctionne avec la même logique. Une fraction \( \frac{a}{b} \) est:
- inférieure à \( \frac{1}{2} \) si \(2a<b\);
- égale à \( \frac{1}{2} \) si \(2a=b\);
- supérieure à \( \frac{1}{2} \) si \(2a>b\).
Comparer \( \frac{7}{15} \) et \( \frac{3}{8} \) peut donc commencer ainsi:
\[
2 \times 7 = 14 < 15
\]
Donc \( \frac{7}{15}<\frac{1}{2} \).
Puis:
\[
2 \times 3 = 6 < 8
\]
Donc \( \frac{3}{8}<\frac{1}{2} \).
Attention: le repère ne suffit pas encore. Les deux fractions sont du même côté de \( \frac{1}{2} \). Il faut poursuivre avec une autre méthode.
En revanche, pour comparer \( \frac{7}{15} \) et \( \frac{5}{9} \):
\[
\frac{7}{15}<\frac{1}{2}
\qquad \text{et} \qquad
\frac{5}{9}>\frac{1}{2}
\]
Donc:
\[
\frac{7}{15}<\frac{5}{9}
\]
Le résultat est obtenu sans calculer de produit en croix.
Pourquoi ce réflexe est utile
Les repères évitent les itérations inutiles. Ils sont particulièrement efficaces lorsque:
- une fraction est supérieure à 1 et l’autre inférieure à 1;
- une fraction vaut exactement \( \frac{1}{2} \), 1 ou 0;
- les deux fractions sont clairement séparées par \( \frac{1}{2} \);
- il faut classer rapidement plusieurs fractions.
Exemple de classement:
\[
\frac{3}{4}, \quad \frac{7}{6}, \quad \frac{2}{5}, \quad \frac{11}{10}
\]
On repère d’abord les fractions inférieures à 1:
\[
\frac{2}{5}, \quad \frac{3}{4}
\]
Puis celles qui sont supérieures à 1:
\[
\frac{11}{10}, \quad \frac{7}{6}
\]
Il reste à comparer à l’intérieur de chaque groupe. La structure du classement est déjà construite.
Numérateurs ou dénominateurs identiques: appliquer la règle directe
Certaines fractions n’exigent aucune méthode intermédiaire. Il existe deux règles de comparaison de fractions à connaître sans hésitation.
Même dénominateur: comparer les numérateurs
Si deux fractions ont le même dénominateur, elles découpent l’unité en parts de même taille. Il suffit donc de compter le nombre de parts prises.
\[
\frac{a}{b} \quad \text{et} \quad \frac{c}{b}
\]
Si \(a>c\), alors:
\[
\frac{a}{b}>\frac{c}{b}
\]
Exemple:
\[
\frac{11}{17}>\frac{8}{17}
\]
Le dénominateur 17 est commun. Les parts ont exactement la même taille. Or 11 parts sont plus nombreuses que 8 parts.
Même numérateur: comparer les dénominateurs dans le sens inverse
Le cas piège est ici. Si le numérateur est identique, la plus grande fraction est celle qui a le plus petit dénominateur.
\[
\frac{a}{b} \quad \text{et} \quad \frac{a}{d}
\]
Si \(b<d\), alors:
\[
\frac{a}{b}>\frac{a}{d}
\]
Exemple:
\[
\frac{5}{9}>\frac{5}{12}
\]
Le numérateur vaut 5 dans les deux fractions. Mais partager l’unité en 9 parts produit des parts plus grandes qu’un partage en 12 parts.
C’est une inversion logique. Le dénominateur augmente, la taille d’une part diminue. Donc, à numérateur fixé, la fraction diminue.
| Structure observée | Comparaison à effectuer | Exemple | Résultat |
|---|---|---|---|
| Même dénominateur | Comparer les numérateurs | \( \frac{4}{13} \) et \( \frac{9}{13} \) | \( \frac{4}{13}<\frac{9}{13} \) |
| Même numérateur | Comparer les dénominateurs en sens inverse | \( \frac{7}{10} \) et \( \frac{7}{15} \) | \( \frac{7}{10}>\frac{7}{15} \) |
| Une fraction au-dessus de 1, l’autre au-dessous | Comparer chaque numérateur à son dénominateur | \( \frac{12}{11} \) et \( \frac{14}{15} \) | \( \frac{12}{11}>\frac{14}{15} \) |
| Structure différente | Utiliser un dénominateur commun ou le produit en croix | \( \frac{5}{8} \) et \( \frac{3}{5} \) | Calcul nécessaire |
Ne pas fabriquer un dénominateur commun lorsque les fractions ont déjà une structure exploitable. Transformer \( \frac{5}{9} \) et \( \frac{5}{12} \) en fractions de dénominateur 36 est correct. C’est aussi inutile.
Mettre au même dénominateur: la méthode lisible
Pour comparer des fractions avec différents dénominateurs, la mise au même dénominateur reste la méthode la plus explicite. Elle transforme deux fractions en fractions comparables directement.
Considérons:
\[
\frac{3}{4} \quad \text{et} \quad \frac{5}{6}
\]
Les dénominateurs sont 4 et 6. Un dénominateur commun est 12.
\[
\frac{3}{4}=\frac{3\times 3}{4\times 3}=\frac{9}{12}
\]
\[
\frac{5}{6}=\frac{5\times 2}{6\times 2}=\frac{10}{12}
\]
On compare alors les numérateurs:
\[
9<10
\]
Donc:
\[
\frac{3}{4}<\frac{5}{6}
\]
La méthode comporte une règle non négociable: multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Sinon, la valeur de la fraction est modifiée.
Procédure stricte
1. Identifier les deux dénominateurs.
2. Chercher un multiple commun, de préférence le plus petit.
3. Calculer le facteur de multiplication pour chaque fraction.
4. Multiplier simultanément le numérateur et le dénominateur.
5. Comparer les nouveaux numérateurs.
6. Reporter le signe entre les fractions initiales.
Exemple avec \( \frac{7}{12} \) et \( \frac{5}{18} \).
Les multiples de 12 sont:
\[
12,\ 24,\ 36,\ 48,\ 60,\ 72,\dots
\]
Les multiples de 18 sont:
\[
18,\ 36,\ 54,\ 72,\dots
\]
Le plus petit multiple commun est 36.
\[
\frac{7}{12}=\frac{7\times 3}{12\times 3}=\frac{21}{36}
\]
\[
\frac{5}{18}=\frac{5\times 2}{18\times 2}=\frac{10}{36}
\]
Donc:
\[
\frac{7}{12}>\frac{5}{18}
\]
Le choix du plus petit commun multiple réduit les calculs. Mais il n’est pas obligatoire. Un autre multiple commun donne le même ordre. Avec 72, on obtiendrait \( \frac{42}{72} \) et \( \frac{20}{72} \). Le résultat ne change pas. Seule la charge de calcul augmente.
Les erreurs de transformation
Trois erreurs reviennent systématiquement.
- Multiplier seulement le dénominateur:
\[
\frac{3}{4}\neq\frac{3}{12}
\]
La fraction est devenue trois fois plus petite.
- Ajouter un nombre au numérateur et au dénominateur:
\[
\frac{3}{4}\neq\frac{3+2}{4+2}=\frac{5}{6}
\]
Une fraction équivalente ne se construit pas par addition.
- Choisir des dénominateurs différents à l’arrivée:
\[
\frac{3}{4}=\frac{9}{12}
\quad \text{et} \quad
\frac{5}{6}=\frac{15}{18}
\]
Les transformations sont justes. La comparaison directe reste impossible.
Le dénominateur commun n’est pas un décor de calcul. C’est la condition qui rend les numérateurs comparables.
Le produit en croix: la méthode systématique
Le produit en croix tranche lorsque les dénominateurs sont différents et qu’aucun repère ne donne la réponse immédiatement.
On cherche à comparer:
\[
\frac{a}{b} \quad \text{et} \quad \frac{c}{d}
\]
avec \(b>0\) et \(d>0\).
Il faut calculer les deux produits:
\[
a\times d
\qquad \text{et} \qquad
b\times c
\]
Ensuite:
- si \(a\times d<c\times b\), alors \( \frac{a}{b}<\frac{c}{d} \);
- si \(a\times d=c\times b\), alors \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \);
- si \(a\times d>c\times b\), alors \( \frac{a}{b}>\frac{c}{d} \).
Exemple:
\[
\frac{7}{11} \quad \text{et} \quad \frac{5}{8}
\]
Calculer les produits croisés:
\[
7\times 8=56
\]
\[
11\times 5=55
\]
Or:
\[
56>55
\]
Donc:
\[
\frac{7}{11}>\frac{5}{8}
\]
Le résultat est proche. C’est précisément le type de situation où l’intuition est fragile et où la méthode systématique est utile.
Ce que calcule réellement le produit en croix
Le produit en croix n’est pas une formule isolée. Il condense une mise au même dénominateur.
Pour comparer:
\[
\frac{a}{b}
\quad \text{et} \quad
\frac{c}{d}
\]
on peut choisir \(b\times d\) comme dénominateur commun:
\[
\frac{a}{b}=\frac{a\times d}{b\times d}
\]
\[
\frac{c}{d}=\frac{c\times b}{d\times b}
\]
Les dénominateurs sont alors égaux. Il reste à comparer \(a\times d\) et \(c\times b\). Le produit en croix est donc une version comprimée de la mise au même dénominateur.
Cette origine explique la condition sur les dénominateurs. La règle, sous cette forme, suppose \(b>0\) et \(d>0\). Au collège, on écrit généralement les fractions avec un dénominateur positif. Si un dénominateur est négatif, il faut d’abord réécrire la fraction.
Exemple:
\[
\frac{3}{-7}=-\frac{3}{7}
\]
La comparaison doit porter sur une écriture normalisée. Sinon, le sens des inégalités peut être mal géré.
Ne pas confondre produit en croix et calcul automatique
Le produit en croix fonctionne dans tous les cas de fractions à dénominateurs positifs. Cela ne signifie pas qu’il doit être exécuté dans tous les cas.
Comparer:
\[
\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \frac{1}{4}
\]
par produits donne:
\[
1\times 4=4
\qquad \text{et} \qquad
2\times 1=2
\]
C’est juste. Mais les numérateurs sont égaux. La règle directe est plus courte:
\[
2<4 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}>\frac{1}{4}
\]
Une méthode fiable n’est pas forcément la méthode optimale.
Choisir la stratégie selon les nombres
La question n’est pas: « Quelle méthode faut-il toujours utiliser? » Cette question est mal posée. Il n’existe pas une méthode unique, supérieure dans tous les cas.
La question correcte est: « Quelle information visible permet de comparer sans introduire d’erreur? »
Voici l’ordre de décision à appliquer.
1. Chercher une égalité de dénominateurs.
Si les dénominateurs sont identiques, comparer les numérateurs. Le calcul s’arrête là.
2. Chercher une égalité de numérateurs.
Si les numérateurs sont identiques, le plus petit dénominateur donne la plus grande fraction.
3. Situer les fractions par rapport à 0, \( \frac{1}{2} \) et 1.
Si les fractions sont séparées par un repère, la conclusion est immédiate.
4. Repérer une fraction équivalente simple.
Par exemple:
\[
\frac{4}{10}=\frac{2}{5}
\]
Comparer \( \frac{4}{10} \) et \( \frac{3}{5} \) devient alors facile:
\[
\frac{2}{5}<\frac{3}{5}
\]
5. Mettre au même dénominateur si les multiples sont simples.
Cette méthode montre clairement le raisonnement et facilite le classement de plusieurs fractions.
6. Utiliser le produit en croix si aucune structure simple ne ressort.
C’est la procédure de secours fiable. Deux multiplications, une comparaison, un signe.
Prenons quatre comparaisons.
| Fractions à comparer | Structure détectée | Méthode retenue | Conclusion |
|---|---|---|---|
| \( \frac{13}{20} \) et \( \frac{17}{20} \) | Même dénominateur | Comparaison des numérateurs | \( \frac{13}{20}<\frac{17}{20} \) |
| \( \frac{6}{7} \) et \( \frac{6}{11} \) | Même numérateur | Dénominateurs inversés | \( \frac{6}{7}>\frac{6}{11} \) |
| \( \frac{8}{9} \) et \( \frac{13}{12} \) | Une fraction sous 1, l’autre sur 1 | Repère 1 | \( \frac{8}{9}<\frac{13}{12} \) |
| \( \frac{11}{14} \) et \( \frac{7}{9} \) | Aucune structure immédiate | Produit en croix | \( \frac{11}{14}>\frac{7}{9} \) |
Dans le dernier cas:
\[
11\times 9=99
\]
\[
14\times 7=98
\]
Donc:
\[
\frac{11}{14}>\frac{7}{9}
\]
L’écart est faible. Le signe dépend d’un seul point entre 99 et 98. Une erreur d’inattention dans une multiplication inverse le résultat. Il faut écrire les deux produits sur des lignes distinctes.
Comparer pour classer plusieurs fractions
Comment classer des fractions ne relève pas d’une méthode différente. Il faut répéter les comparaisons, mais sans perdre l’ordre obtenu.
Considérons:
\[
\frac{2}{3}, \quad \frac{5}{8}, \quad \frac{7}{10}, \quad \frac{3}{5}
\]
Une mise au même dénominateur est efficace car les dénominateurs 3, 8, 10 et 5 ont un multiple commun: 120.
\[
\frac{2}{3}=\frac{80}{120}
\]
\[
\frac{5}{8}=\frac{75}{120}
\]
\[
\frac{7}{10}=\frac{84}{120}
\]
\[
\frac{3}{5}=\frac{72}{120}
\]
Il suffit ensuite de classer les numérateurs:
\[
72<75<80<84
\]
Donc:
\[
\frac{3}{5}<\frac{5}{8}<\frac{2}{3}<\frac{7}{10}
\]
Pour quatre fractions, le dénominateur commun rend le classement global lisible. Utiliser une série de produits en croix serait possible, mais moins stable: chaque nouvelle comparaison crée un risque de confusion dans l’ordre final.
La mise au même dénominateur est donc particulièrement adaptée lorsque plusieurs fractions doivent être rangées. Le produit en croix est plus adapté à une comparaison isolée.
Test final: détecter une erreur de signe
Après avoir comparé deux fractions, exécuter un contrôle minimal.
Pour comparer \( \frac{a}{b} \) et \( \frac{c}{d} \):
- vérifier que les dénominateurs sont positifs;
- vérifier que le signe final correspond aux produits calculés;
- contrôler l’ordre avec un repère simple, si possible;
- relire la phrase complète, pas seulement les calculs.
Exemple:
\[
\frac{19}{20} \quad \text{et} \quad \frac{9}{10}
\]
Le produit en croix donne:
\[
19\times 10=190
\]
\[
20\times 9=180
\]
Donc:
\[
\frac{19}{20}>\frac{9}{10}
\]
Contrôle rapide: \( \frac{19}{20} \) est très proche de 1, tandis que \( \frac{9}{10} \) vaut 0,9. Le signe est cohérent.
La méthode correcte est celle qui réduit le nombre d’opérations sans réduire la rigueur. Même dénominateur: numérateurs. Même numérateur: dénominateurs en sens inverse. Repères: comparaison immédiate. Sinon, dénominateur commun ou produit en croix. Le programme de résolution est court. Il doit être exécuté dans cet ordre.