Montagne de sel de Cardona billets : la check-list Brevet

Montagne de sel de Cardona billets: la check-list Brevet

Avec les données de la Montagne de sel de Cardona, tu dois lire un tableau, appliquer une réduction, distinguer les catégories de visiteurs et rédiger une réponse vérifiable. Le calcul compte, mais la méthode et la justification font souvent la différence dans le barème.

La mine fournit aussi un support concret pour travailler les conversions, les distances, les durées et la géométrie. La partie visible de la montagne atteint 120 mètres, tandis que le diapir salin descend à près de 2 kilomètres sous le sol. La visite guidée permet de parcourir 500 mètres de galeries et de descendre jusqu’à 86 mètres de profondeur pendant environ une heure. Ce sont des données simples à comprendre, mais suffisamment riches pour construire un véritable entraînement de niveau collège.

Au Brevet, un résultat isolé ne prouve rien: pose le calcul, indique l’unité et termine par une phrase qui répond exactement à la question.

1. Montagne de sel de Cardona billets: construire le prix d’un groupe

Les tarifs de la mine de sel de Cardona se prêtent très bien aux exercices de calcul littéral et de pourcentages. Les prix indiqués pour une visite guidée sont les suivants:

La première difficulté ne vient pas de l’opération. Elle vient de la lecture. Si l’énoncé retient le tarif adulte de 12,50 €, tu dois utiliser 12,50 € dans tout le calcul. Si l’énoncé retient 12,75 €, tu ne peux pas remplacer cette valeur par 12,50 € parce qu’elle est plus facile à manipuler.

Dans une situation réelle, les montants peuvent dépendre de la date de consultation ou des conditions de réservation. Dans un exercice, la valeur donnée par l’énoncé devient la référence. C’est elle qui fixe le résultat attendu.

Exemple: une famille sans réduction

Une famille achète quatre billets:

• deux adultes à 12,50 € chacun;
• un enfant de 5 à 11 ans à 6,00 €;
• un enfant de 2 à 4 ans à 3,00 €.

Tu dois séparer les catégories avant de calculer:

\[

2 \times 12{,}50 + 6 + 3

\]

Puis:

\[

25 + 6 + 3 = 34

\]

Le prix total est donc de 34 €.

La rédaction finale doit être courte, mais complète: « La famille paiera 34 € pour les quatre billets. » Évite la réponse réduite à « 34 »: le correcteur doit voir que tu as calculé un prix et non une quantité de billets.

Exemple: appliquer une réduction de 10 %

Pour une famille nombreuse, la réduction est de 10 %. Supposons que le prix avant réduction soit de 68 €.

Tu peux calculer directement le montant de la réduction:

\[

68 \times \frac{10}{100} = 6{,}80

\]

Puis retirer cette somme:

\[

68 - 6{,}80 = 61{,}20

\]

Le prix après réduction est de 61,20 €.

Une autre méthode consiste à calculer le coefficient multiplicateur. Une réduction de 10 % signifie que le client paie 90 % du prix initial:

\[

68 \times 0{,}90 = 61{,}20

\]

Les deux démarches sont correctes. Au Brevet, choisis celle que tu maîtrises le mieux et écris-la clairement. Ne pose pas seulement « 68 − 10 »: 10 n’est pas le montant de la réduction, c’est un pourcentage.

Le brouillon qui évite l’erreur

Avant de calculer, écris les informations dans cet ordre:

1. Qui visite? Adultes, retraités, enfants de 5 à 11 ans, enfants de 2 à 4 ans.

2. Quel tarif correspond à chaque personne?

3. Le groupe bénéficie-t-il d’une réduction?

4. La réduction s’applique-t-elle au total annoncé dans l’énoncé?

5. Quelle unité doit apparaître dans la réponse?

Cette organisation est particulièrement utile lorsque le groupe mélange plusieurs catégories. Si tu commences par additionner tous les nombres du tableau, tu risques de prendre un tarif qui ne concerne personne.

Calculer un prix par personne

Un exercice peut demander le prix moyen payé par visiteur. Attention: le tarif moyen n’est pas nécessairement égal au tarif d’une catégorie.

Reprenons un groupe composé de deux adultes, d’un enfant de 5 à 11 ans et d’un enfant de 2 à 4 ans. Le total est de 34 € pour quatre visiteurs.

\[

34 \div 4 = 8{,}50

\]

Le prix moyen par visiteur est de 8,50 €.

Cette moyenne ne signifie pas qu’un billet coûte 8,50 €. Les adultes ont payé 12,50 €, tandis que les enfants ont bénéficié de tarifs différents. La moyenne sert seulement à répartir le coût total entre les quatre visiteurs.

Une réduction en pourcentage se calcule sur un prix, jamais sur le nombre de personnes. Commence par déterminer le total concerné, puis applique le coefficient.

2. Tarifs de la mine de sel de Cardona: maîtriser les pourcentages

Les questions de pourcentage sont fréquentes parce qu’elles permettent d’évaluer plusieurs compétences dans un même exercice: calcul numérique, ordre des opérations, interprétation et rédaction. Le cas des familles nombreuses est intéressant car la réduction de 10 % paraît simple, mais provoque des erreurs régulières.

Réduction ou nouveau prix?

Si le prix initial est \(P\), alors:

• le montant de la réduction est \(P \times 0{,}10\);
• le prix final est \(P \times 0{,}90\).

Ne confonds pas ces deux résultats. Pour un groupe dont le tarif initial est de 90 €:

\[

90 \times 0{,}10 = 9

\]

La réduction vaut 9 €. Le prix à payer est:

\[

90 - 9 = 81

\]

ou directement:

\[

90 \times 0{,}90 = 81

\]

Si la question demande « combien représente la réduction? », la réponse est 9 €. Si elle demande « quel est le prix après réduction? », la réponse est 81 €.

Retrouver le prix avant réduction

La difficulté peut être inversée. Le groupe a payé 72 € après une réduction de 10 %. Quel était le prix avant réduction?

Après une réduction de 10 %, le prix payé représente 90 % du prix initial. On cherche donc \(P\) tel que:

\[

0{,}90P = 72

\]

D’où:

\[

P = \frac{72}{0{,}90} = 80

\]

Le prix avant réduction était de 80 €.

Cette question demande davantage de rigueur, car il ne faut pas ajouter 10 % à 72 €. Une réduction de 10 % est calculée sur le prix initial, pas sur le prix final. Ajouter 10 % à 72 donnerait 79,20 €, ce qui est faux.

Vérifier rapidement la cohérence

Une réduction de 10 % doit diminuer le prix, mais pas le rendre inférieur à 90 % du prix initial. Si tu obtiens 63 € pour un prix de départ de 70 €, le résultat est cohérent:

\[

70 \times 0{,}90 = 63

\]

Si tu obtiens 77 €, tu as probablement ajouté la réduction au lieu de la soustraire. Si tu obtiens 7 €, tu as calculé le montant de la réduction mais pas le prix final.

Cette vérification visuelle ne remplace pas le calcul. Elle permet de repérer une erreur de sens avant de rendre la copie.

3. Géométrie souterraine: passer des mètres aux kilomètres

La Montagne de sel de Cardona donne une image concrète des changements d’unités. La partie visible atteint 120 mètres, tandis que le diapir salin s’enfonce à près de 2 kilomètres de profondeur. La visite, elle, descend jusqu’à 86 mètres dans les galeries.

Tu dois distinguer trois informations:

• la hauteur visible de la montagne: 120 m;
• la profondeur totale annoncée du diapir: près de 2 km;
• la profondeur atteinte par la visite: 86 m.

Ces nombres ne décrivent pas le même segment. Ne les additionne pas automatiquement et ne les place pas sur une figure sans préciser ce qu’ils représentent.

Conversion de 2 kilomètres en mètres

Pour convertir des kilomètres en mètres, on utilise:

\[

1 \text{ km} = 1\,000 \text{ m}

\]

Donc:

\[

2 \text{ km} = 2\,000 \text{ m}

\]

La profondeur du diapir est donc d’environ 2 000 mètres. Le mot « environ » reste nécessaire: la donnée est formulée comme une approximation.

Une question peut demander la différence entre cette profondeur et les 120 mètres visibles:

\[

2\,000 - 120 = 1\,880

\]

La différence est d’environ 1 880 mètres. Mais attention à la formulation: cette soustraction compare deux longueurs exprimées dans la même unité. Elle ne signifie pas que la montagne possède une hauteur totale mesurée verticalement de 2 120 mètres.

Comparer la profondeur de la visite et celle du diapir

La visite atteint 86 mètres sous terre. Le diapir descend à près de 2 000 mètres.

\[

\frac{86}{2\,000} = 0{,}043

\]

En pourcentage:

\[

0{,}043 \times 100 = 4{,}3

\]

La profondeur de la visite représente donc environ 4,3 % de la profondeur annoncée du diapir.

Ce type de calcul est une bonne occasion de travailler la proportionnalité. Vérifie cependant le sens de la comparaison: tu compares la profondeur visitée à la profondeur totale du diapir, pas à la hauteur visible de 120 mètres.

Représenter la situation sur un schéma

Même si aucun dessin n’est explicitement demandé, un schéma de brouillon peut sécuriser ton raisonnement. Trace une ligne horizontale pour représenter le sol, puis:

1. place la montagne au-dessus de cette ligne;

2. indique 120 m pour sa partie visible;

3. trace une zone souterraine plus profonde;

4. place le niveau de visite à 86 m sous le sol;

5. note séparément la profondeur approximative de 2 km du diapir.

Le dessin n’a pas besoin d’être à l’échelle. Son rôle est de faire apparaître les positions et les unités. Si tu traces 2 km à la même échelle que 86 m sur une petite feuille, tu ne pourras pas représenter correctement les deux longueurs. Un schéma lisible vaut mieux qu’une figure prétendument exacte mais illisible.

Utiliser la longueur des galeries

Le parcours visité mesure 500 mètres et la visite dure environ une heure. Si un exercice demande une vitesse moyenne, convertis d’abord la durée:

\[

1 \text{ heure} = 1 \text{ h}

\]

La vitesse moyenne est:

\[

v = \frac{\text{distance}}{\text{durée}}

\]

Donc:

\[

v = \frac{500}{1} = 500 \text{ m/h}

\]

La vitesse moyenne du déplacement est d’environ 500 mètres par heure.

En mètres par minute:

\[

1 \text{ heure} = 60 \text{ minutes}

\]

\[

v = \frac{500}{60} \approx 8{,}3 \text{ m/min}

\]

Cette valeur ne décrit pas une marche continue à vitesse constante. La visite est guidée et comprend des arrêts, des explications et des observations. En mathématiques, il s’agit d’une vitesse moyenne calculée à partir de la distance totale et de la durée totale.

4. Logistique: modéliser un trajet entre Barcelone et Cardona

Cardona se trouve à environ 71 kilomètres de Barcelone. En voiture, le trajet dure généralement entre 1 h 30 et 2 h. Des liaisons quotidiennes en bus sont également opérées par Alsa.

Ces données permettent de construire un exercice sur les intervalles de temps, les vitesses moyennes et l’organisation d’une journée. Là encore, le mot « environ » a un rôle: la distance et la durée peuvent varier selon l’itinéraire, la circulation et les conditions de transport.

Calculer une vitesse moyenne en voiture

Supposons qu’un énoncé retienne une distance de 71 km et une durée de 1 h 30. Convertis la durée en heures:

\[

1\text{ h }30 = 1{,}5\text{ h}

\]

Puis applique la formule:

\[

v = \frac{71}{1{,}5}

\]

\[

v \approx 47{,}3 \text{ km/h}

\]

La vitesse moyenne est donc d’environ 47,3 km/h.

Ce résultat peut sembler faible par rapport à la vitesse autorisée sur certaines routes, mais il inclut l’ensemble du trajet. Une moyenne tient compte des ralentissements, des portions urbaines et des arrêts éventuels. Ne la compare pas directement à une vitesse maximale sans expliquer la différence entre les deux.

Si la même distance est parcourue en 2 heures:

\[

v = \frac{71}{2} = 35{,}5 \text{ km/h}

\]

La durée augmente, donc la vitesse moyenne diminue. C’est exactement ce que tu dois observer avant même de calculer.

Encadrer une heure d’arrivée

Une famille quitte Barcelone à 8 h 00. Le trajet dure entre 1 h 30 et 2 h.

Heure d’arrivée la plus rapide:

\[

8\text{ h }00 + 1\text{ h }30 = 9\text{ h }30

\]

Heure d’arrivée la plus tardive:

\[

8\text{ h }00 + 2\text{ h }00 = 10\text{ h }00

\]

L’arrivée est donc prévue entre 9 h 30 et 10 h 00, hors imprévu.

Si la visite guidée commence à 10 h 30, la marge disponible est comprise entre 30 minutes et 1 heure. Si l’exercice demande si la famille est certaine d’arriver à temps, tu dois examiner la durée maximale, pas la durée la plus favorable. Avec un trajet de 2 heures, l’arrivée à 10 h 00 laisse encore 30 minutes.

Organiser le raisonnement sur le brouillon

Pour une question de trajet, écris une ligne temporelle simple:

• départ;
• durée minimale;
• durée maximale;
• heure de début de la visite;
• marge disponible.

Tu peux ensuite vérifier visuellement si les horaires se chevauchent. Cette méthode évite l’erreur classique qui consiste à soustraire une durée au mauvais horaire. Un trajet se lit de gauche à droite: heure de départ, déplacement, arrivée.

5. Exploitation minière et chronologie: calculer des durées

L’exploitation du sel à Cardona remonte au Néolithique moyen, il y a environ 6 500 ans. La mine moderne Mina Nieves de Cardona a fonctionné de 1929 à 1990, avant la création du Parc Culturel de la Montagne de Sel en 1997.

Ces dates permettent de travailler les durées, mais elles ne se manipulent pas toutes de la même manière. « Il y a 6 500 ans » renvoie à une durée avant aujourd’hui, tandis que 1929, 1990 et 1997 sont des années du calendrier.

Durée de fonctionnement de la mine moderne

Pour calculer la durée d’exploitation entre 1929 et 1990:

\[

1990 - 1929 = 61

\]

La mine moderne a donc fonctionné pendant 61 ans, selon les années indiquées.

La formulation « de 1929 à 1990 » peut parfois susciter une hésitation: faut-il compter les deux années entièrement? Dans un exercice de durée, on effectue généralement la différence entre les dates. Si l’énoncé demande explicitement de compter des années civiles incluses, la consigne peut changer. Lis précisément le verbe utilisé: « calculer la durée » n’est pas la même chose que « compter le nombre d’années mentionnées ».

De la fermeture au parc culturel

La mine ferme en 1990 et le parc culturel est créé en 1997:

\[

1997 - 1990 = 7

\]

Il s’est écoulé 7 ans entre la fermeture de l’exploitation minière et la création du parc culturel.

Cette question est simple, mais elle vérifie ton attention. Ne calcule pas 1997 − 1929: ce serait la durée entre l’ouverture de la mine moderne et la création du parc, pas la période de transformation après la fermeture.

Comparer des durées historiques

L’exploitation moderne a duré 61 ans. La période entre la fermeture et la création du parc a duré 7 ans.

\[

61 \div 7 \approx 8{,}7

\]

La durée d’exploitation moderne est donc environ 8,7 fois plus longue que la période séparant la fermeture de la création du parc. Si la question demande un arrondi, indique-le. Si elle demande un rapport exact, conserve la fraction:

\[

\frac{61}{7}

\]

Ne transforme pas systématiquement un résultat en nombre décimal si cela réduit la précision attendue.

6. Température et conditions de visite: lire un intervalle

La température à l’intérieur de la mine reste constante toute l’année entre 17 °C et 18 °C. Cette information peut servir à travailler les intervalles, les écarts et les moyennes.

Calculer l’amplitude de température

L’amplitude est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale:

\[

18 - 17 = 1

\]

L’amplitude est de 1 °C.

L’expression « entre 17 °C et 18 °C » ne signifie pas que la température vaut toujours exactement 17,5 °C. Elle indique un intervalle. Si un exercice demande une valeur moyenne théorique de cet intervalle, on peut calculer:

\[

\frac{17 + 18}{2} = 17{,}5

\]

La moyenne des bornes est donc 17,5 °C, mais ce résultat ne doit pas être présenté comme une mesure exacte dans la mine.

Relier le calcul à la préparation de la visite

La température souterraine est relativement stable, mais elle ne dispense pas de lire les conditions pratiques. Les poussettes et les animaux de compagnie sont strictement interdits dans les galeries. La descente se fait dans le cadre d’une visite guidée, et le parcours visité est plat sur 500 mètres.

Pour transformer ces informations en consignes de travail, retiens la distinction suivante:

• une donnée numérique sert à calculer;
• une règle d’accès sert à organiser la visite;
• une information géométrique sert à représenter ou comparer;
• une durée sert à planifier ou à calculer une vitesse.

Mélanger ces rôles produit souvent des réponses confuses. Un exercice de mathématiques devient plus facile lorsque chaque information est classée avant le premier calcul.

7. Les erreurs qui font perdre des points

Les exercices inspirés de la Montagne de sel de Cardona billets ne sont pas difficiles parce que les nombres seraient complexes. Ils demandent surtout de maintenir une chaîne de raisonnement propre. Voici les erreurs les plus coûteuses.

1. Additionner des tarifs qui ne correspondent à aucune catégorie.

Lis d’abord la composition du groupe. Deux adultes, un enfant de 5 à 11 ans et un enfant de 2 à 4 ans ne se calculent pas avec quatre fois le tarif adulte.

2. Appliquer 10 % comme une soustraction de 10 unités.

Une réduction de 10 % sur 68 € vaut 6,80 €, pas 10 €. Pose le calcul avec \(0{,}10\) ou \(10/100\).

3. Oublier l’unité après une conversion.

Écris \(2\text{ km} = 2\,000\text{ m}\), puis utilise une seule unité dans la comparaison. Une soustraction entre kilomètres et mètres n’est pas valide sans conversion.

4. Confondre profondeur et longueur.

Les 86 mètres correspondent à la profondeur atteinte pendant la visite. Les 500 mètres correspondent à la longueur du parcours dans les galeries. Ce ne sont pas deux mesures interchangeables.

5. Prendre une durée minimale pour garantir une arrivée.

Si le trajet dure entre 1 h 30 et 2 h, utilise 2 h pour vérifier qu’un rendez-vous sera respecté dans le scénario le plus défavorable.

6. Donner un nombre sans expliquer ce qu’il représente.

Une réponse comme « 4,3 » doit devenir « la visite représente environ 4,3 % de la profondeur du diapir ». Le correcteur évalue aussi l’interprétation.

7. Inventer une précision absente de l’énoncé.

Une profondeur annoncée à près de 2 kilomètres ne doit pas être transformée en 2 000 mètres exactement dans la phrase finale. La conversion est exacte, mais la donnée de départ reste approximative.

La vérification visuelle en trois passages

Avant de rendre ta copie, relis chaque question avec trois filtres:

• Les nombres: ai-je utilisé les bonnes données?
• Les unités: sont-elles compatibles dans chaque calcul?
• Le sens: mon résultat répond-il à la question posée?

Tu peux ensuite entourer les résultats finaux et souligner les phrases de conclusion. Ce geste prend peu de temps et rend la copie plus lisible. Une opération juste mais mal reliée à la question peut perdre une partie des points de justification.

8. Une check-list complète pour t’entraîner

Utilise les données de la mine comme une fiche d’exercice. Ne cherche pas à retenir tous les nombres séparément: associe chaque valeur à une compétence.

• 12,50 € à 12,75 €: comparer deux tarifs adultes ou choisir la valeur imposée par l’énoncé;
• 10,00 € à 10,25 €: calculer le coût pour des retraités;
• 6,00 € et 3,00 €: distinguer les deux catégories d’enfants;
• 10 %: appliquer une réduction ou retrouver un prix initial;
• 120 m: travailler une hauteur visible;
• 86 m: représenter la profondeur de la visite;
• 500 m: calculer une vitesse moyenne ou une distance parcourue;
• environ 2 km: convertir et comparer une profondeur;
• 1 heure: convertir une durée et construire une vitesse;
• 17 °C à 18 °C: calculer une amplitude ou interpréter un intervalle;
• 71 km: modéliser un trajet depuis Barcelone;
• 1 h 30 à 2 h: encadrer une heure d’arrivée;
• 1929, 1990 et 1997: calculer des durées historiques.

Pour chaque donnée, entraîne-toi à rédiger quatre éléments: la formule, le remplacement par les nombres, le résultat avec son unité et une phrase d’interprétation. Cette répétition construit un automatisme utile le jour de l’épreuve.

Tu peux aussi modifier progressivement les questions:

1. commence par un calcul direct de prix;

2. ajoute ensuite une réduction;

3. mélange plusieurs catégories de visiteurs;

4. impose une conversion d’unités;

5. termine par une question ouverte où tu dois expliquer ton choix.

La difficulté augmente sans changer le contexte. Tu apprends ainsi à observer la structure du problème plutôt qu’à attendre une opération évidente.

Conclusion: le dernier détail qui rapporte des points

La Montagne de sel de Cardona fournit un contexte concret pour réviser les tarifs, les pourcentages, les conversions, les vitesses, les durées et les intervalles. Mais le véritable objectif n’est pas de mémoriser les prix des billets. Il est de savoir transformer une information en calcul, puis un calcul en réponse démontrée.

Au Brevet, ton correcteur cherchera à lire une démarche: les catégories sont identifiées, la réduction est appliquée au bon montant, les kilomètres sont convertis, la profondeur est distinguée de la longueur et chaque résultat porte son unité. Termine toujours par une phrase précise: « Le groupe paiera… », « La visite représente… », « L’arrivée est comprise entre… ».

C’est ce dernier détail de rédaction qui rapporte les points: tu ne laisses pas le résultat seul sur la copie, tu prouves que tu sais ce qu’il signifie.

Photo: Etan J. Tal / CC BY-SA 3.0 — Wikimedia Commons