Division de fractions : étapes pour réussir le calcul
L’erreur la plus fréquente est simple: l’élève inverse la mauvaise fraction. Dans une division, seule la deuxième fraction, c’est-à-dire le diviseur, doit être inversée.
Division de fractions: étapes pour réussir le calcul
La règle est donc:
\[
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}
=
\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}
\]
Les conditions sont strictes:
\[
b\neq 0,\qquad c\neq 0,\qquad d\neq 0
\]
Ensuite, on multiplie. Enfin, on simplifie. La méthode comporte donc trois opérations logiques:
1. identifier le diviseur;
2. remplacer la division par une multiplication et inverser le diviseur;
3. effectuer le produit et réduire la fraction.
Cette méthode s’applique aux calculs de fractions au collège, notamment en classe de 4e.
La règle de base: diviser, c’est multiplier par l’inverse
Deux nombres non nuls sont inverses lorsque leur produit est égal à 1.
Par exemple:
\[
\frac{3}{5}\times\frac{5}{3}=1
\]
Donc:
- l’inverse de \(\frac{3}{5}\) est \(\frac{5}{3}\);
- l’inverse de \(\frac{7}{2}\) est \(\frac{2}{7}\);
- l’inverse de \(9\) est \(\frac{1}{9}\);
- l’inverse de \(\frac{1}{4}\) est \(4\).
La fraction doit être non nulle. Le nombre 0 n’a pas d’inverse. En effet, aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1.
Il est donc interdit de diviser par zéro.
La règle générale devient:
\[
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}
=
\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}
\]
Puis:
\[
\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}
=
\frac{a\times d}{b\times c}
\]
Les lettres indiquent les variables du calcul:
- \(a\) et \(b\) forment la première fraction;
- \(c\) et \(d\) forment la deuxième fraction;
- \(\frac{c}{d}\) est le diviseur;
- son inverse est \(\frac{d}{c}\).
Dans une division de fractions, on ne met pas les fractions au même dénominateur. On inverse le diviseur. Ensuite, on multiplie.
Division de fractions: les trois étapes
La méthode doit être exécutée dans le même ordre à chaque fois.
Étape 1: repérer le diviseur
Dans l’écriture:
\[
\frac{5}{8}\div\frac{2}{3}
\]
la première fraction est le dividende:
\[
\frac{5}{8}
\]
la deuxième fraction est le diviseur:
\[
\frac{2}{3}
\]
Le diviseur est la fraction située après le symbole \(\div\).
Étape 2: inverser uniquement le diviseur
L’inverse de:
\[
\frac{2}{3}
\]
est:
\[
\frac{3}{2}
\]
La première fraction ne change pas.
On obtient donc:
\[
\frac{5}{8}\div\frac{2}{3}
=
\frac{5}{8}\times\frac{3}{2}
\]
Étape 3: multiplier et simplifier
On multiplie les numérateurs entre eux. Puis les dénominateurs entre eux:
\[
\frac{5}{8}\times\frac{3}{2}
=
\frac{5\times3}{8\times2}
=
\frac{15}{16}
\]
Le résultat est:
\[
\boxed{\frac{15}{16}}
\]
La fraction est irréductible. Aucun facteur commun supérieur à 1 ne divise 15 et 16.
Premier exemple complet
Calculons:
\[
\frac{7}{9}\div\frac{14}{15}
\]
Application directe
Le diviseur est:
\[
\frac{14}{15}
\]
Son inverse est:
\[
\frac{15}{14}
\]
Donc:
\[
\frac{7}{9}\div\frac{14}{15}
=
\frac{7}{9}\times\frac{15}{14}
\]
Une multiplication directe donne:
\[
\frac{7\times15}{9\times14}
=
\frac{105}{126}
\]
Cette fraction n’est pas encore simplifiée.
Le nombre 21 divise 105 et 126:
\[
\frac{105}{126}
=
\frac{5}{6}
\]
Le résultat final est donc:
\[
\boxed{\frac{5}{6}}
\]
Simplification avant la multiplication
Le calcul peut être raccourci. On observe les facteurs communs:
\[
\frac{7}{9}\times\frac{15}{14}
\]
Le 7 du numérateur et le 14 du dénominateur se simplifient par 7:
\[
\frac{\cancel{7}}{9}\times\frac{15}{2\cancel{7}}
=
\frac{1}{9}\times\frac{15}{2}
\]
Puis 15 et 9 se simplifient par 3:
\[
\frac{1}{\cancel{9}}\times\frac{\cancel{15}}{2}
=
\frac{1}{3}\times\frac{5}{2}
=
\frac{5}{6}
\]
La simplification avant multiplication réduit les produits intermédiaires. Elle diminue donc le risque d’erreur.
Simplifier avant de multiplier
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun supérieur à 1.
Dans une multiplication:
\[
\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}
\]
il est possible de simplifier:
- un numérateur avec le dénominateur de l’autre fraction;
- avant d’effectuer les multiplications.
Exemple:
\[
\frac{18}{25}\div\frac{12}{35}
\]
On inverse le diviseur:
\[
\frac{18}{25}\times\frac{35}{12}
\]
On peut ensuite simplifier:
\[
\frac{18}{25}\times\frac{35}{12}
\]
Les nombres 18 et 12 ont un facteur commun 6:
\[
18\div6=3,\qquad 12\div6=2
\]
Les nombres 35 et 25 ont un facteur commun 5:
\[
35\div5=7,\qquad 25\div5=5
\]
Le calcul devient:
\[
\frac{3}{5}\times\frac{7}{2}
=
\frac{21}{10}
\]
Donc:
\[
\boxed{\frac{21}{10}}
\]
La fraction est irréductible. On peut aussi l’écrire sous forme de nombre mixte:
\[
\frac{21}{10}=2+\frac{1}{10}
\]
Cette écriture n’est pas obligatoire. La forme fractionnaire suffit généralement.
Procédure de simplification
Pour simplifier une multiplication de fractions:
1. factoriser mentalement les nombres lorsque c’est possible;
2. repérer un facteur commun entre un numérateur et un dénominateur;
3. diviser les deux nombres par ce facteur;
4. recommencer si une nouvelle simplification est possible;
5. effectuer les produits restants.
Exemple:
\[
\frac{24}{35}\div\frac{18}{49}
\]
On transforme d’abord la division:
\[
\frac{24}{35}\times\frac{49}{18}
\]
Puis on simplifie:
\[
24\text{ et }18\text{ par }6
\]
\[
49\text{ et }35\text{ par }7
\]
Le calcul devient:
\[
\frac{4}{5}\times\frac{7}{3}
=
\frac{28}{15}
\]
Donc:
\[
\boxed{\frac{28}{15}}
\]
Diviser une fraction par un nombre entier
Un nombre entier non nul peut être écrit sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est 1.
Ainsi:
\[
n=\frac{n}{1}
\]
Pour calculer:
\[
\frac{a}{b}\div n
\]
on écrit:
\[
\frac{a}{b}\div\frac{n}{1}
\]
Puis on inverse le diviseur:
\[
\frac{a}{b}\times\frac{1}{n}
\]
Enfin:
\[
\frac{a}{b\times n}
\]
Exemple avec un entier positif
Calculons:
\[
\frac{5}{6}\div4
\]
On écrit:
\[
4=\frac{4}{1}
\]
Donc:
\[
\frac{5}{6}\div4
=
\frac{5}{6}\div\frac{4}{1}
=
\frac{5}{6}\times\frac{1}{4}
=
\frac{5}{24}
\]
Résultat:
\[
\boxed{\frac{5}{24}}
\]
Exemple avec un entier négatif
Calculons:
\[
\frac{7}{10}\div(-2)
\]
On écrit:
\[
-2=\frac{-2}{1}
\]
L’inverse de \(\frac{-2}{1}\) est:
\[
\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}
\]
Donc:
\[
\frac{7}{10}\div(-2)
=
\frac{7}{10}\times\left(-\frac{1}{2}\right)
=
-\frac{7}{20}
\]
Résultat:
\[
\boxed{-\frac{7}{20}}
\]
Fractions positives et négatives
La division de fractions relatives utilise la règle des signes de la multiplication.
| Signe de la première fraction | Signe du diviseur | Signe du résultat |
|---|---|---|
| positif | positif | positif |
| positif | négatif | négatif |
| négatif | positif | négatif |
| négatif | négatif | positif |
Deux signes identiques donnent un résultat positif. Deux signes différents donnent un résultat négatif.
Exemple: signes différents
\[
\frac{-4}{7}\div\frac{2}{3}
\]
On inverse le diviseur:
\[
\frac{-4}{7}\times\frac{3}{2}
\]
Le produit est négatif:
\[
\frac{-4\times3}{7\times2}
=
-\frac{12}{14}
=
-\frac{6}{7}
\]
Donc:
\[
\boxed{-\frac{6}{7}}
\]
Exemple: deux signes négatifs
\[
\frac{-5}{8}\div\frac{-15}{16}
\]
On inverse le diviseur:
\[
\frac{-5}{8}\times\frac{-16}{15}
\]
Les deux facteurs sont négatifs. Le résultat est positif.
\[
\frac{5}{8}\times\frac{16}{15}
\]
Simplification:
\[
\frac{16}{8}=2
\]
Donc:
\[
\frac{5\times2}{15}
=
\frac{10}{15}
=
\frac{2}{3}
\]
Résultat:
\[
\boxed{\frac{2}{3}}
\]
Ne pas confondre:
- l’opposé de \(x\), qui est \(-x\);
- l’inverse de \(x\), qui est \(\frac{1}{x}\).
Par exemple, si \(x=4\):
\[
\text{opposé de }4=-4
\]
mais:
\[
\text{inverse de }4=\frac14
\]
Ces deux opérations ne produisent pas le même nombre.
Diviser avec des fractions particulières
Certains cas se traitent directement. La règle reste identique.
Diviser par 1
L’inverse de 1 est 1. Donc:
\[
\frac{a}{b}\div1
=
\frac{a}{b}\times1
=
\frac{a}{b}
\]
Exemple:
\[
\frac{11}{13}\div1=\frac{11}{13}
\]
Diviser par \(\frac{1}{n}\)
L’inverse de \(\frac{1}{n}\) est \(n\). Donc:
\[
\frac{a}{b}\div\frac{1}{n}
=
\frac{a}{b}\times n
\]
Exemple:
\[
\frac{3}{8}\div\frac{1}{4}
=
\frac{3}{8}\times4
=
\frac{12}{8}
=
\frac{3}{2}
\]
Le résultat peut être supérieur à 1. Ce n’est pas une anomalie. Diviser par une quantité inférieure à 1 peut augmenter le nombre.
Diviser par une fraction supérieure à 1
Exemple:
\[
\frac{4}{5}\div\frac{8}{3}
\]
On inverse:
\[
\frac{4}{5}\times\frac{3}{8}
\]
Puis:
\[
\frac{12}{40}
=
\frac{3}{10}
\]
Résultat:
\[
\boxed{\frac{3}{10}}
\]
Ici, le résultat est inférieur à \(\frac45\), car le diviseur \(\frac83\) est supérieur à 1.
Parenthèses et priorités opératoires
Une division de fractions peut être intégrée dans une expression plus longue. Les priorités opératoires restent actives.
Ordre d’exécution:
1. calculer les expressions entre parenthèses;
2. effectuer les multiplications et les divisions;
3. effectuer les additions et les soustractions.
Les multiplications et les divisions ont la même priorité. Elles se calculent de gauche à droite.
Exemple avec une addition
\[
\frac{2}{3}+\frac{5}{6}\div\frac{10}{9}
\]
La division est prioritaire sur l’addition.
On calcule d’abord:
\[
\frac{5}{6}\div\frac{10}{9}
=
\frac{5}{6}\times\frac{9}{10}
\]
Simplification:
\[
\frac{5}{10}=\frac12,\qquad \frac96=\frac32
\]
Donc:
\[
\frac{5}{6}\times\frac{9}{10}
=
\frac{3}{4}
\]
L’expression devient:
\[
\frac{2}{3}+\frac{3}{4}
\]
On met alors les fractions au même dénominateur pour additionner:
\[
\frac{2}{3}=\frac{8}{12},\qquad
\frac{3}{4}=\frac{9}{12}
\]
Donc:
\[
\frac{8}{12}+\frac{9}{12}
=
\frac{17}{12}
\]
Résultat:
\[
\boxed{\frac{17}{12}}
\]
La mise au même dénominateur intervient ici pour l’addition. Elle ne sert pas à effectuer la division initiale.
Exemple avec des parenthèses
\[
\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{6}\right)\div\frac{7}{9}
\]
On calcule d’abord la parenthèse:
\[
\frac{3}{4}-\frac{1}{6}
\]
Le dénominateur commun est 12:
\[
\frac{3}{4}=\frac{9}{12},\qquad
\frac{1}{6}=\frac{2}{12}
\]
Donc:
\[
\frac{9}{12}-\frac{2}{12}
=
\frac{7}{12}
\]
Il reste:
\[
\frac{7}{12}\div\frac{7}{9}
\]
On inverse le diviseur:
\[
\frac{7}{12}\times\frac{9}{7}
\]
Les 7 se simplifient:
\[
\frac{9}{12}
=
\frac34
\]
Résultat:
\[
\boxed{\frac34}
\]
Les erreurs typiques
Une division de fractions contient peu d’étapes. Les erreurs proviennent donc principalement d’une mauvaise exécution.
1. Inverser les deux fractions
Erreur:
\[
\frac{2}{5}\div\frac{3}{7}
\longrightarrow
\frac{5}{2}\times\frac{7}{3}
\]
La première fraction ne doit pas être inversée.
Calcul correct:
\[
\frac{2}{5}\div\frac{3}{7}
=
\frac{2}{5}\times\frac{7}{3}
=
\frac{14}{15}
\]
2. Inverser sans remplacer la division
Erreur:
\[
\frac{2}{5}\div\frac{3}{7}
\longrightarrow
\frac{2}{5}\div\frac{7}{3}
\]
L’inversion du diviseur exige aussi le remplacement de \(\div\) par \(\times\).
Calcul correct:
\[
\frac{2}{5}\times\frac{7}{3}
\]
3. Multiplier les dénominateurs et diviser les numérateurs
Erreur:
\[
\frac{2}{5}\div\frac{3}{7}
\longrightarrow
\frac{2\div3}{5\times7}
\]
Cette opération ne correspond pas à la règle.
Après inversion:
\[
\frac{2}{5}\times\frac{7}{3}
=
\frac{2\times7}{5\times3}
=
\frac{14}{15}
\]
4. Mettre au même dénominateur
Cette méthode est adaptée à l’addition et à la soustraction. Elle n’est pas nécessaire pour une division de fractions.
Pour:
\[
\frac{4}{9}\div\frac{2}{3}
\]
on ne transforme pas les fractions en fractions de même dénominateur. On inverse directement:
\[
\frac{4}{9}\times\frac{3}{2}
=
\frac{12}{18}
=
\frac23
\]
5. Oublier la simplification finale
Le calcul:
\[
\frac{18}{24}
\]
est correct, mais il n’est pas terminé si une fraction irréductible est demandée.
On simplifie par 6:
\[
\frac{18}{24}=\frac34
\]
La forme attendue est donc:
\[
\boxed{\frac34}
\]
6. Confondre inverse et opposé
Pour:
\[
\frac{-3}{5}
\]
l’opposé est:
\[
\frac35
\]
L’inverse est:
\[
-\frac53
\]
Le signe et la position du numérateur doivent être traités séparément.
Une méthode écrite qui limite les erreurs
Pour un exercice de calcul numérique, la présentation doit rendre chaque transformation contrôlable.
Utiliser ce format:
1. recopier l’expression;
2. entourer ou identifier le diviseur;
3. remplacer \(\div\) par \(\times\);
4. inverser la deuxième fraction;
5. simplifier les facteurs;
6. multiplier;
7. réduire le résultat.
Exemple:
\[
\frac{16}{21}\div\frac{8}{9}
\]
Transformation:
\[
\frac{16}{21}\times\frac{9}{8}
\]
Simplification:
\[
\frac{16}{8}=2,\qquad \frac{9}{21}=\frac37
\]
Produit:
\[
2\times\frac37=\frac67
\]
Résultat:
\[
\boxed{\frac67}
\]
Chaque ligne possède une fonction précise. Il ne faut pas fusionner plusieurs transformations si cela rend le calcul illisible.
Tableau de contrôle
| Étape | Question à poser | Exemple pour \(\frac{16}{21}\div\frac{8}{9}\) |
|---|---|---|
| Identification | Quelle est la deuxième fraction? | \(\frac89\) |
| Inversion | Quel est son inverse? | \(\frac98\) |
| Opérateur | Quel symbole remplace \(\div\)? | \(\times\) |
| Produit | Quels nombres sont multipliés? | \(16\times9\) et \(21\times8\) |
| Simplification | Existe-t-il des facteurs communs? | \(16\) avec \(8\), \(9\) avec \(21\) |
| Résultat | La fraction est-elle irréductible? | \(\frac67\) |
Exercices corrigés
Exercice 1
\[
\frac{3}{10}\div\frac{9}{20}
\]
On inverse le diviseur:
\[
\frac{3}{10}\times\frac{20}{9}
\]
On simplifie:
\[
\frac{20}{10}=2,\qquad \frac{3}{9}=\frac13
\]
Donc:
\[
2\times\frac13=\frac23
\]
Résultat:
\[
\boxed{\frac23}
\]
Exercice 2
\[
\frac{11}{12}\div\frac{22}{15}
\]
On inverse:
\[
\frac{11}{12}\times\frac{15}{22}
\]
On simplifie 11 avec 22:
\[
\frac{1}{12}\times\frac{15}{2}
\]
Puis 15 avec 12:
\[
\frac{1}{4}\times\frac{5}{2}
=
\frac{5}{8}
\]
Résultat:
\[
\boxed{\frac58}
\]
Exercice 3
\[
-\frac{9}{14}\div\frac{3}{7}
\]
On inverse le diviseur:
\[
-\frac{9}{14}\times\frac{7}{3}
\]
Le résultat est négatif. On simplifie:
\[
\frac{9}{3}=3,\qquad \frac{7}{14}=\frac12
\]
Donc:
\[
-3\times\frac12=-\frac32
\]
Résultat:
\[
\boxed{-\frac32}
\]
Exercice 4
\[
\frac{5}{6}\div\left(-\frac{25}{18}\right)
\]
On inverse le diviseur:
\[
\frac{5}{6}\times\left(-\frac{18}{25}\right)
\]
Le résultat est négatif.
Simplification:
\[
\frac{5}{25}=\frac15,\qquad \frac{18}{6}=3
\]
Donc:
\[
\frac15\times(-3)=-\frac35
\]
Résultat:
\[
\boxed{-\frac35}
\]
Test de vérification rapide
Un résultat peut être contrôlé sans refaire toute la procédure.
Vérification par multiplication
Si:
\[
A\div B=C
\]
alors:
\[
C\times B=A
\]
Pour le calcul:
\[
\frac{7}{9}\div\frac{14}{15}=\frac56
\]
on vérifie:
\[
\frac56\times\frac{14}{15}
\]
Simplification:
\[
\frac{14}{?}
\]
Calcul direct:
\[
\frac{5\times14}{6\times15}
=
\frac{70}{90}
=
\frac79
\]
On retrouve le dividende. Le calcul est cohérent.
Vérification du signe
- deux signes identiques donnent un résultat positif;
- deux signes différents donnent un résultat négatif.
Si le signe obtenu ne correspond pas à cette règle, l’erreur est localisée.
Vérification de l’ordre de grandeur
Cette vérification ne remplace pas le calcul exact. Elle détecte une erreur grossière.
Exemple:
\[
\frac34\div\frac12
\]
Le diviseur \(\frac12\) est inférieur à 1. Le résultat doit donc être supérieur à \(\frac34\).
Calcul:
\[
\frac34\times2=\frac32
\]
Le résultat \(\frac32\) est bien supérieur à \(\frac34\).
En revanche, si le calcul produisait \(\frac38\), le résultat serait suspect. Diviser par \(\frac12\) revient à multiplier par 2, pas à réduire la valeur.
Conclusion
La méthode de division de fractions est fixe:
\[
\boxed{\text{on garde la première fraction, on inverse la seconde, on multiplie}}
\]
La séquence complète est:
1. repérer le diviseur;
2. vérifier qu’il n’est pas nul;
3. remplacer la division par une multiplication;
4. inverser uniquement le diviseur;
5. simplifier les facteurs;
6. multiplier les numérateurs et les dénominateurs;
7. vérifier le signe et le résultat.
La mise au même dénominateur n’intervient pas dans la division. Elle intervient ensuite si le résultat doit être additionné ou soustrait à une autre fraction.
Test final:
\[
\text{résultat}\times\text{diviseur}
=
\text{dividende}
\]
Si cette égalité est vraie, le calcul est validé.