Médiatrice d'un segment : tracé au compas étape par étape
L’erreur la plus fréquente est simple: choisir un rayon trop petit. Si les deux arcs ne se coupent pas, aucune médiatrice ne peut être tracée. Le compas n’a pas « raté » son tracé.
Médiatrice d'un segment: tracé au compas étape par étape
La condition géométrique n’a pas été respectée.
Pour une construction de médiatrice de segment à la règle et au compas, la règle est stricte: les deux arcs doivent avoir le même rayon, et ce rayon doit être supérieur à la moitié de la longueur du segment.
La médiatrice n’est pas une droite placée visuellement au centre. C’est une droite définie par une propriété: chacun de ses points est à la même distance des deux extrémités du segment.
Définition: la droite des points équidistants
Soit un segment \([AB]\).
La médiatrice de \([AB]\) est la droite qui:
- est perpendiculaire à la droite \((AB)\);
- passe par le milieu de \([AB]\);
- contient tous les points situés à égale distance de \(A\) et de \(B\).
Ces trois formulations décrivent le même objet. Cependant, lors de la construction, la propriété d’équidistance est celle qui pilote le compas.
Si un point \(M\) vérifie:
\[
MA = MB
\]
alors \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\).
Inversement, tout point situé sur la médiatrice est équidistant de \(A\) et de \(B\).
Le compas permet donc de produire des points tels que leurs distances à \(A\) et à \(B\) soient identiques. Ensuite, la règle relie ces points. La médiatrice apparaît.
La médiatrice ne se devine pas au milieu du segment: elle se construit à partir de deux distances égales.
Cette logique évite une confusion classique. Le milieu du segment est bien situé sur la médiatrice, mais il n’est pas nécessaire de le placer d’abord à la règle graduée. La construction au compas le détermine indirectement.
La règle du rayon: une contrainte, pas un détail
Soit \(L\) la longueur du segment \([AB]\).
Le rayon du compas doit vérifier:
\[
r > \frac{L}{2}
\]
Cette inégalité garantit que les cercles de centres \(A\) et \(B\) se coupent en deux points distincts.
Trois cas possibles
| Rayon choisi | Résultat des arcs | Conséquence |
|---|---|---|
| \(r < \frac{AB}{2}\) | Les arcs ne se coupent pas | Construction impossible |
| \(r = \frac{AB}{2}\) | Les arcs se touchent en un seul point | Une droite ne peut pas être définie |
| \(r > \frac{AB}{2}\) | Les arcs se coupent en deux points | La médiatrice peut être tracée |
Le deuxième cas produit une erreur trompeuse. Les arcs semblent se rejoindre. Pourtant, un seul point ne suffit pas pour déterminer une droite. Il faut deux points d’intersection.
En pratique, il ne faut pas chercher un rayon minimal. Ouvrir le compas largement réduit les imprécisions. Si le segment mesure 6 cm, un rayon légèrement supérieur à 3 cm fonctionne. Un rayon de 4 cm fonctionne aussi. Il n’existe pas de valeur imposée, tant que les deux ouvertures du compas restent exactement identiques.
La variable décisive n’est donc pas la valeur exacte du rayon. C’est son maintien.
- Le compas s’ouvre une fois.
- Son écartement ne change plus.
- Les deux arcs sont tracés avec cette même ouverture.
- Sinon, les intersections ne seront plus forcément équidistantes de \(A\) et \(B\).
Construction de la médiatrice au compas: protocole exact
Le matériel nécessaire est limité:
- une règle non graduée, ou une règle utilisée uniquement pour tracer;
- un compas;
- un crayon fin;
- le segment \([AB]\).
La graduation de la règle ne sert pas à construire la médiatrice. Elle peut servir à contrôler un exercice, mais pas à produire la propriété géométrique recherchée.
Étape 1: identifier les extrémités
Tracer ou repérer le segment \([AB]\).
Les points \(A\) et \(B\) sont les centres successifs des arcs. Une lettre mal lue ou un compas placé sur un point voisin suffit à fausser toute la figure.
Ne pas prolonger immédiatement le segment. Cela ne facilite pas la construction. Cela ajoute seulement des traits inutiles.
Étape 2: régler l’ouverture du compas
Placer la pointe sèche du compas sur \(A\).
Ouvrir le compas à une distance supérieure à la moitié de \(AB\). L’ouverture doit être assez grande pour que l’arc tracé depuis \(A\) dépasse la zone centrale du segment.
Ne pas chercher à mesurer précisément cette moitié. L’observation suffit: l’ouverture doit être visiblement supérieure à la moitié du segment.
Si le compas est très peu ouvert, les intersections deviennent proches du segment. Le tracé sera moins lisible. Si le compas est beaucoup plus ouvert, les intersections sont plus éloignées. La construction reste correcte.
Étape 3: tracer les arcs de centre \(A\)
Sans modifier l’écartement, tracer:
1. un arc au-dessus du segment;
2. un arc au-dessous du segment.
Il n’est pas nécessaire de dessiner les cercles complets. Deux arcs assez longs suffisent. Ils doivent cependant traverser la zone où les arcs issus de \(B\) vont les rencontrer.
La précision se joue ici sur deux points:
- la pointe sèche reste exactement sur \(A\);
- le compas ne se referme pas pendant le mouvement.
Étape 4: déplacer le compas sur \(B\)
Soulever le compas sans toucher à sa vis ou à son articulation.
Placer la pointe sèche sur \(B\). L’ouverture est conservée. C’est la priorité opératoire de la construction: même rayon, deux centres différents.
Tracer à nouveau:
1. un arc au-dessus du segment;
2. un arc au-dessous du segment.
Les arcs issus de \(B\) doivent couper ceux issus de \(A\). Nommer les deux points d’intersection, par exemple \(C\) et \(D\).
On obtient alors:
\[
CA = CB
\]
et
\[
DA = DB
\]
Pourquoi? Parce que \(C\) est situé sur un arc de centre \(A\) et sur un arc de centre \(B\), tracés avec le même rayon. Le même raisonnement s’applique à \(D\).
Donc \(C\) et \(D\) sont deux points équidistants de \(A\) et de \(B\).
Étape 5: relier les intersections
Placer la règle sur \(C\) et \(D\).
Tracer la droite \((CD)\). Prolonger le trait de part et d’autre du segment. Ne pas tracer seulement le morceau compris entre les deux intersections: une médiatrice est une droite, non un segment.
La droite \((CD)\) est la médiatrice de \([AB]\).
Le mécanisme est complet:
- \(C\) est équidistant de \(A\) et \(B\);
- \(D\) est équidistant de \(A\) et \(B\);
- les points équidistants de \(A\) et \(B\) appartiennent à la médiatrice;
- donc la droite passant par \(C\) et \(D\) est cette médiatrice.
Deux intersections, un même rayon, une droite: le programme de construction est terminé.
Pourquoi la droite obtenue est perpendiculaire au segment
La perpendicularité ne provient pas de l’apparence du dessin. Un tracé peut sembler former un angle droit tout en étant faux. Elle résulte de la propriété des points équidistants.
Soit \(I\) le point où la droite \((CD)\) coupe le segment \([AB]\).
Puisque \((CD)\) est la médiatrice de \([AB]\), le point \(I\) est le milieu de \([AB]\). On a donc:
\[
IA = IB
\]
et la droite \((CD)\) est perpendiculaire à \((AB)\).
Cette propriété est fondamentale en géométrie du collège. Elle intervient ensuite dans plusieurs constructions:
- construire le centre d’un cercle passant par plusieurs points;
- déterminer l’axe de symétrie d’une figure;
- justifier qu’un triangle est isocèle;
- trouver le centre du cercle circonscrit à un triangle;
- construire des triangles à partir de longueurs données.
Dans un triangle isocèle de sommet \(C\), par exemple, si:
\[
CA = CB
\]
alors \(C\) appartient à la médiatrice de \([AB]\). Cette réciproque est utile: pour montrer qu’un point est sur une médiatrice, il suffit souvent de comparer deux longueurs.
Erreurs de construction: diagnostiquer avant de recommencer
Une médiatrice fausse se repère généralement avant même de sortir l’équerre. Il faut identifier la variable qui a changé.
Le compas a été déplacé avec une ouverture différente
C’est l’erreur principale.
Le premier arc a un rayon \(r_1\). Le second a un rayon \(r_2\). Si:
\[
r_1 \ne r_2
\]
alors les points d’intersection ne sont plus garantis équidistants de \(A\) et de \(B\). La droite qui les relie n’a aucune raison d’être la médiatrice.
Correction: recommencer les quatre arcs. Ne pas tenter de corriger un seul arc. La construction dépend de l’égalité exacte des rayons.
Les arcs ne se coupent pas
Le rayon est inférieur à la moitié du segment, ou presque égal à cette moitié.
Correction: augmenter l’ouverture du compas. Il faut obtenir deux croisements, un de chaque côté de \([AB]\).
Les intersections sont très proches
La construction peut être théoriquement juste, mais graphiquement fragile. Une petite erreur de crayon modifie fortement l’inclinaison de la droite \((CD)\).
Correction: augmenter le rayon. Des intersections plus éloignées produisent une droite plus stable et plus facile à tracer.
La règle relie un arc à une extrémité du segment
Dans certains cahiers, les arcs et les lettres se superposent. L’élève peut alors relier \(A\) à \(C\), ou \(B\) à \(D\), au lieu de relier \(C\) à \(D\).
Correction: marquer clairement les deux intersections avant de poser la règle. Les variables utiles sont les points \(C\) et \(D\), pas les centres \(A\) et \(B\).
Le trait s’arrête au segment
Le segment reliant les intersections est correct comme support, mais incomplet dans un exercice où l’on demande de tracer une droite.
Correction: prolonger la règle des deux côtés. Puis nommer la droite si la consigne le demande: « la médiatrice de \([AB]\) ».
Construction, contrôle et rédaction de la réponse
Dans une copie, le tracé seul peut être insuffisant. Une phrase de justification courte est préférable.
La rédaction correcte peut suivre cet ordre:
1. Les arcs de centres \(A\) et \(B\) sont tracés avec le même rayon.
2. Les points \(C\) et \(D\), intersections de ces arcs, vérifient \(CA = CB\) et \(DA = DB\).
3. Donc \(C\) et \(D\) appartiennent à la médiatrice de \([AB]\).
4. La droite \((CD)\) est donc la médiatrice de \([AB]\).
Cette rédaction ne dépend pas de la mesure de \(AB\). Elle dépend uniquement de l’égalité des rayons.
Il faut aussi distinguer deux opérations:
| Opération | Outil principal | Résultat |
|---|---|---|
| Construire la médiatrice | Compas puis règle | Une droite définie par l’équidistance |
| Contrôler le tracé | Équerre ou mesure | Une vérification visuelle ou instrumentale |
| Placer le milieu par mesure | Règle graduée | Un point, sans démonstration géométrique complète |
L’équerre peut confirmer que la droite semble perpendiculaire au segment. Elle ne remplace pas la construction. De même, mesurer les deux moitiés du segment peut confirmer que leur longueur semble égale. Mais le compas fournit directement la structure de la figure.
Le test final en dix secondes
Avant de considérer le tracé comme terminé, exécuter ce contrôle rapide:
- Les deux arcs ont-ils été dessinés avec la même ouverture?
- Le rayon était-il supérieur à la moitié du segment?
- Y a-t-il exactement deux points d’intersection exploitables?
- La règle relie-t-elle ces deux intersections?
- La droite obtenue coupe-t-elle le segment en son centre et semble-t-elle perpendiculaire?
Si une réponse est négative, le tracé doit être repris. Une médiatrice ne tolère pas l’approximation sur son principe: même rayon, deux intersections, une droite.